Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка

• Автор: Замышляева, Алена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 101 с.

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 ПОЛИНОМИАЛЬНО ОТНОСИТЕЛЬНО ОГРАНИЧЕННЫЕ ПУЧКИ ОПЕРАТОРОВ

1.1 Относительные резольвенты пучков операторов

1.2 Относительно спектральные проекторы

1.3 Относительно присоединенные векторы

1.4 Полиномиальная ограниченность относительно

фредгольмова оператора

2 ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 Пропагаторы

2.2 Семейство вырожденных М, А-функций
2.3 Производящие операторы аналитического семейства
вырожденных М, А-функций
2.4 Морфология фазового пространства
2.5 Задача Коши для неоднородного уравнения
3 ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1 Функциональные пространства и дифференциальные
операторы
3.2 Уравнение Буссинеска - Лява
3.3 Уравнение с1е Сепиев звуковых волн в смектиках
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:
N — множество натуральных чисел;
М — множество действительных чисел;
С — множество комплексных чисел;
ЬР(П) — пространства Лебега;
— пространства Соболева и т.д.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,
8рап{<£>1, <£>2, - - -, фт}
обозначает линейную оболочку векторов <р, . . ., <рт.
2. Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:
С{Ы; Т) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве Ы и действующих в пространство Т
С1(1Л; Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Ы и действующих в пространство Т
С°°(Ы; Т) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на Ы и действующих в Т Отметим, что вместо С{ЫЫ), С1{Ы1Л) и С°°{ЫЫ) ради краткости будем писать соответственно С{Ц), С1(1А) и Элемен-
ты множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и О мы будем
обозначать соответственно "единичный"и "нулевой"операторы, области определения которых ясны из контекста.
dom Л — область определения оператора А, im А — образ оператора А.
3. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных"вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки"и ограничивают область, лежащую "слева"при таком движении.
4. Выражение "точно тогда, когда"заменяет выражение "тогда и только тогда, когда".
5. Символ о лежит в конце доказательства.

Доказательство. В силу "римановости"интеграла оператор Р Є С(Ы). В силу (1.1.3), теоремы 1.1.1, условия (Л) и теоремы Коши имеем
Р2 = (2ту* !ЛЩІі/і"“'/«/! / =
(2т)-2 [ ( Я1(В)[(£сп-‘-‘А*)А-^ ')Т к=О

-(^2^п-2~кХк)вп-1 - ... - (р + )В2 - Р^^А^ЛсШд = к=О
(2тгг)-2 [ [ -^—п-1(ЕІ(В)~ґі£(В))А(і(ііі =
и 'у Пу М ^
Т I = р,

где контур 7і = {А Є С : |А| = гі > г}.
Для оператора (3 лемма доказывается аналогично.е>
Положим и0 = кегР, Д° = кег(3, К1 = ітР, р1 = іт(3. Из предыдущей леммы следует, что Ы — Ы° © Ы1, Р = Р° © Р1 ■ Через Ак (Вк) обозначим сужение оператора А (Ві) на ик, к = 0,1; 1 = О, I,..., п — 1.
Теорема 1.2.1 Пусть пучок В полиномиально А-ограничен и выполнено условие (Л). Тогда действия операторов расщепляются:
(г) Ак є£(ик,Рк), к = 0,1;
(гг) Вк є С{икРк), к = 0,1,1 = 0,1,..., п - 1;
(Иг) существует оператор (Л1)-1 Є С(р1]Ь(1) ■
Доказательство, (і) Заметим сначала, что при любых и0 Є , и1 Є Ы1 и0 = (I — Р)и°, и1 = Ри1. Поэтому Аи° = Л(/ — Р)и° =