Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управления

• Автор: Цибулис, Андрей Брониславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Рига
• Количество страниц: 139 c. : ил

ОБОЗНАЧЕНИЯ

На протяжении всей работы использованы следующие обозначения.

- /? -мерное евклидово пространство,

X- (Х+, , произвольная точка в нем,

-Е2 - ограниченная область в Е^ , т.е. открытое связное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре достаточно большого радиуса,

^ - фиксированное число, большее П ,

<Р£ - граница множества С ,

С - замыкание

Для обозначения функции р использована следующая запись Р~ Р(У) или р(у) , или р( ■) ,

Р^У) - значение функции р в точке у ,

ЕЕ (р) - область определения функции р ,

5г - равно по определению или тождественно равно,
р(Х,-1±)Е Еъ р(Х//±р с —> о
Г е>0
/V~ I У) 2; ... } _ множество натуральных чисел,
Е*£, ,/С* {*,2; п),
а 'ИXI - норма в пространстве // ■Иг, ^2 - норма в пространстве 1Г (Л).
Определения функциональных пространств
сущ спл)
берутся из работы [23].
Если не могут возникнуть недоразумения, символ Х2 в обозначениях норм и пространств опускается.

Буквой С с индексами или без них обозначаются постоянные, конкретные значения; которых в данном контексте несущественны, причем буквой с с одним и тем же индексом или просто без индекса могут обозночаться различные постоянные
Г„ = I. гг(Л)х//Л) *■■■ * 12Ш1 X
<1+7. ' 'Зг ' %

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов разрешимости смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с разрывными нелинейностями (PH)
У 2 [ . (X, и)их + )/; (х,X у(. Сх,и)1+
ЭЛ ■ <1 4 ■* (
/ ' С {-'1
+ х(х,и; - /(х)+‘ (0Л)

и изучению вопросов существования решения в задачах оптимального управления для эллиптических уравнений с PH.
Термин "разрывные нелинейности", вошедший в литературу в последние годы, употребляется для подчеркивания того факта, что функции, входящие в уравнение (или в граничное условие) могут быть не только нелинейными, но и разрывными по и.
Изложение ведется в терминах вариационных равенств, соответствующих определению обобщенных решений краевых задач для уравнения (0.1) в смысле книги 0.А.Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [23],
В рамках уравнений с PH могут быть изучены многие физические процессы (процессы кристаллизации и плавления, фильтрации, широкий круг задач со свободными границами). До сих пор уравнения с PH, несмотря на их практическую важность, изучены недостаточно. Это отчасти объясняется математической сложностью таких уравнений, которая, разумеется, зависит от характера нелинейностей и разрывов, а также от того,
Пусть I/ € [д/ и через £ (V) обозначается множество функций Ау ('/ ^ ) А ('/ ^(’)) } А«' ^‘/ ) Е
(•, V (•)) ? (>/ *= К . Пусть функции р & К1 аппроксимируются непрерывными функциями р* } к € /V , удовлетворяющими условиям б°- 7°. Тогда левую часть вариационного равенства (2.4), в котором вместо функции р ( V и (•)) из множества К2 (и) подставлена функция рк(С/(■)) , обозначим через Н (и,
Решение сглаженной задачи, т.е. вариационного равенства
//^?; = «/•?» К; (6.10)
обозначим через С/К
Следующая лемма устанавливает важное свойство решений сглаженной задачи.
Лемма 6.4. Пусть удовлетворены условия I0- 7° и функции Р с Р € К аппроксимируются так, что имеет место лемма 6.3 (например, /А аппроксимируется по формуле (6.7)). Тогда для любого 7 ер
^ (и_ )гс/х (К-+ о°)]
(6.И)
где Е}т = (х € & ; и(Х)-т] } и - предельный элемент последовательности [ С/*} в смысле слабой сходимости в пространстве а
Доказательство. Сначала рассмотрим случай 7 У О.
Для произвольного С > о выберем достаточно малым число сГ из интервала ( о, т) (малость £ будет уточнена по ходу