Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка

• Автор: Псху, Арсен Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 190 с.

Вводные сведения

11. Специальные функции

12. Операторы дробного интегро-дифференцирования

1.3. Интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка

Глава 1. Уравнение порядка ф 1

1.1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля

1.1.1. Регулярное решение

1.1.2. Представление решения

1.1.3. Функция типа Райта

1.2. Свойства функции типа Райта

1.2.1. Представление в виде ряда и формулы трансформации

1.2.2. Предельные соотношения
1.2.3. Дробное интегрирование и дифференцирование
1.2.4. Оценки функции типа Райта
1.2.5. Свертка функций Райта
1.2.6. Свойства интегралов с функцией типа Райта
1.2.7. Неравенства для функции Райта е^ (г)
1.3. Задача в прямоугольной области
1.3.1. Специальное решение
1.3.2. Постановка задачи
1.3.3. Формулировка теоремы
1.4. Задача для уравнения с отрицательным коэффициентом
1.5. Задача Коши
1.5.1. Постановка задачи и представление решения
1.5.2. Теорема единственности решения
1.5.3. Случай отрицательного коэффициента

1.5.4. Неулучшаемость показателя степени в условиях единственности
решения
1.6. Уравнение с производными Капуто
1.6.1. Задача в прямоугольной области
1.6.2. Задача Коши
Библиографические комментарии
Глава 2. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре
2.1. Определение
2.2. Свойства преобразований
2.2.1. Общие свойства
2.2.2. Преобразования степенных функций
2.2.3. Свертка преобразований
2.2.4. Связь преобразований А01’11, В0,6 с преобразованием Лапласа и с
преобразованием Меллина
2.2.5. Композиция преобразований
2.2.6. Связь с операторами дробного интегро-дифференцирования
2.2.7. Предельные соотношения
2.2.8. Сравнение преобразований
2.2.9. Преобразования некоторых функций
2.3. Применение преобразований Аа,м к изучению свойств функции типа Райта
2.3.1. Формула перестановки параметров
2.3.2. Неравенства
2.3.3. Представление функции типа Райта в форме интеграла по положительной полуоси
2.4. Применение к решению дифференциальных уравнений дробного порядка
2.4.1. Эволюционные уравнения
2.4.2. Общее уравнение диффузии дробного порядка
2.4.3. Уравнение со свободным членом
2.5. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера
2.5.1. Обозначения
2.5.2. Основная теорема
2.5.3. Следствия
2.5.4. О геометрии множеств В, В* и Во
Библиографические комментарии

Глава 3. Диффузионно-волновое уравнение
3.1. Введение
3.2. Метод редукции к системе уравнений меньшего порядка
3.2.1. Задача Коши
3.2.2. Первая краевая задача
3.3. Фундаментальное решение
3.3.1. Вспомогательные утверждения
3.3.2. Свойства фундаментального решения
3.3.3. Случай уравнения диффузии
3.3.4. Волновое уравнение
3.4. Представление решения
3.4.1. Формулировка теоремы
3.4.2. Вспомогательные утверждения
3.4.3. Доказательство теоремы о представлении решения
3.5. Задача Коши
3.5.1. Уравнение с производной Римана-Лиувилля
3.5.2. Уравнение с производной Капуто
3.5.3. Единственность решения задачи Коши. Аналог условия А.Н. Тихонова
3.5.4. Первая краевая задача
3.6. Краевые задачи в прямоугольных областях
3.6.1. Функция Грина первой краевой задачи
3.6.2. Вторая краевая задача
3.6.3. Смешанные задачи
Библиографические комментарии
Глава 4. Уравнения континуального порядка
4.1. Оператор интегро-дифференцирования континуального порядка
4.1.1. Обозначения и определения
4.1.2. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для оператора интегрирования
4.1.3. Непрерывное уравнение Абеля
4.1.4. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для дифференциального оператора
4.1.5. Задача Коши
4.1.6. Принцип экстремума
4.2. Задача Коши для обыкновенного уравнения континуального порядка
4.2.1. Постановка задачи

Из (1.3.10) и (1.3.11), замечая, что lim D%x 1w = 0, lim lw = 0, приходим к равенству

(■Dftc + AZ?oy) uo{x> y) = J(Dox + XDo,y-t) w(x, У ~ t) dt+

+A Jij}(s) (DqiX_s + XdQ w(x - s, у) ds
Отсюда следует, что функция щ(х, у) является решением однородного уравнения (1.1.1) в области D.
Докажем, что функция щ(х, у) есть решение неоднородного уравнения (1.1.1). Рассмотрим два случая. Первый случай: правая часть уравнения (1.1.1) удовлетворяет условию Гельдера по переменной у, то есть выполнено первое из условий (1.3.6). Из соотношения (1.3.9) следует, что F(x,у,а,0) = —(l/X)F(x,y;0,ß). Поэтому из формул (1.2.63) и (1.2.64) получаем
(-Ote + A£>oy) щ(х, у) = D$xF{x, у; а, 0) - DßyF(х, у, 0, ß) = f(x, у). (1.3.12)
Во втором случае, когда правая часть уравнения (1.1.1) удовлетворяет второму из условий (1.3.6), справедливость (1.3.12) следует из формул (1.2.66) и (1.2.67). То есть и(х,у) действительно удовлетворяет уравнению (1.1.1) в области D.
Из соотношений (1.2.34), (1.2.36), (1.2.47), (1.2.49) и неравенства
|x1-ay1-0ul^Cxu-aeyp-ß+ße, 9 G (0; 1), (1.3.13)
которое является следствием (1.2.60), следует выполнение краевых условий (1.3.3) и (1.3.4), а также включений x1~ay1~ßu0 G C(D {(0,0)}) и xl~ayx~ßu G C(D). Соотношения (1.2.33), (1.2.35), (1.2.46), (1.2.48) и (1.2.62) доказывают, что D§xu(x,y), Dß0yu(x,y) G C(D).
Для завершения доказательства остается показать непрерывность функции х1~ау1~/3и в точке (0,0). Пусть х —> 0, у —> 0, ха/г/ -> с, 0 ^ с ^ оо. Из (1.2.38) и (1.3.9) следует,

Й8х'~аУ1~0 ji’{s)w{x-s,y)ds=-^ e%g(-Aс) -

Здесь фо — 1 Dq~'iP(x)- Обозначив через <ро = lim Dß~lip(y), с помощью (1.2.50) приа:-*0 у->0 "
ходим к соотношению

lim xl~ayl~ß Ip(t)w(x, y-t)dt = ip0 e*f0 (-Ас).
y—*0 J