Функциональные инварианты аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей

• Автор: Мещерякова, Юлия Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 104 с.

1 Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек

1.1 Доказательство теоремы о формальной классификации

1.2 Эквивалентность формальных нормальных

форм

1.3 Предварительная нормализация ростков класса Ул,р аналитическими заменами

2 Секториальная нормализация вырожденных элементарных особых точек

2.1 Доказательство теоремы о секториальной нормализации. Случай ао = р = 1, а = Л

2.1.1 Исследование системы гомологических уравнений

2.1.2 Существование и единственность решений системы гомологических уравнений

2.1.3 Обсуждение вопроса сходимости

2.1.4 Оценки функций Дх и Аг

2.1.5 Определенность подынтегральных выражений

2.1.6 Оценки /12 и 2.1.7 Оценки производных невязки
2.1.8 Инъективность секториальных нормализующих
нормированных отображений
2.1.9 Обратимость отображений Н±
2.2 Общий случай
2.2.1 Схема доказательства
2.2.2 Гомологическое уравнение
2.2.3 Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению
2.2.4 Существование и единственность решения вспомогательного уравнения
2.2.5 Оценки решений вспомогательного уравнения
2.2.6 Свойства выпрямляющего отображения А. Стандартные области
2.2.7 Решение гомологического уравнения в области

2.2.8 Решение второго уравнения системы гомологических уравнений
2.2.9 Решение первого уравнения системы гомологических уравнений
2.2.10 Оператор Ф =
2.2.11 Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы
2.2.12 Оценки для невязки
2.2.13 Оценки оператора %

2.2.14 Сжимаемость оператора 5. Существование решения Ь системы (2.22)
2.2.15 Доказательство второго утверждения теоремы

2.2.16 Окончание доказательства теоремы
3 Аналитическая классификация ростков класса УАФ
3.1 Схема доказательства теоремы об аналитической классификации
3.2 Нормализующий атлас и его функции перехода
3.3 Пространство модулей ЯТ
3.4 Построение биекции Пг : ЯТ —У Мр,
3.4.1 Модули Мартине - Рамиса
3.4.2 Построение „временной части“ ф инварианта
3.4.3 Биективность отображения Пг
3.5 Окончание доказательства теоремы
3.6 Доказательство теоремы
4 Простейшие приложения
4.1 Симметрии ростков с вырожденными элементарными особыми точками
Список цитированной литературы

Доказательство.
Если отрезок [21,22] лежит в Т>, то рту(г 1,22) = % — %ї- Пусть 2і, ^2 Є V. Пусть теперь [21,22] £ V, 7 - произвольная кривая, лежащая в V, и соединяющая точки 21 и 22. Область Р есть объединение двух полупространств: Пі = {(х,у) : Iт(уе~а) > 0} и П2 = {(х,у) : 1т(?/е-/3) < 0}. Т .к. точки 2і и 22 не лежат одновременно ни в одном из этих полупространств, то на кривой 7 найдется точка 2о Є Пі П Пг- но тогда кривая 71, составленная из отрезков [21,20] и [20,22 ], лежит ври соединяет 2і и 22, а ее длина не больше длины 7 : |7і| < |7|.
Рассмотрим двумерную плоскость П, проходящую через точки 2о, 2і, и 22 и пусть О - точка ее пересечения с комплексной прямой {у = 0}. Ясно, что точка О лежит в треугольнике А С П с вершинами 2о, 2і, и 22, так что длина ломаной 72 = 21О22 не больше длины ломаной 71.
Пусть точка О Є С2 имеет координаты (то, 0), то Є С. На отрезке [хі,Х2] Є С выберем точку Тд таким образом, чтобы х — Хд| < хі — Тої, |Т2 — Х$| < |Х2 — То| (это ВОЗМОЖНО, Т.к. |хі — Хг| < |ті — т0| + Іж0 — Х2І), и пусть О* = (тд, 0) Є С2. Рассмотрим ломаную 7з = 2іО»22, лежащую в области V, и соединяющую точки 21 и 22- Длина 73 не превосходит ДЛИНЫ 72, поскольку проекции ее звеньев на у - плоскость такие же, как и у 72, а длины проекций ее звеньев на Т - ПЛОСКОСТЬ не больше, чем у 72Рассмотрим трехмерное пространство Пз С М4, проекция которого на т - плоскость совпадает с прямой, проходящей через точки ті, Т2 и Тд, и пусть Т>з = Пз П V. Область £>з - внешность двугран-