Полнота корневых функций пучков дифференциальных операторов и суммируемость по ним произвольных функций

• Автор: Галяев, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 82 с.

Глава I. Асимптотика по параметру решений дифференциальных систем.

§ 1. Общая теорема об асимптотике решений систем линейных

дифференциальных уравнений с большим параметром

§2. Следствие асимптотической теоремы, частные случаи

Глава II. Алгебраические критерии «-кратной полноты корневых функций пучков линейных обыкновенных дифференциальных операторов с общими краевыми условиями

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные леммы

§2. Теорема «-кратной полноты в случае пучков с граничными

условиями регулярного типа

§3. Анализ условий теоремы

§4. Постановка проблемы « -кратной полноты в случае пучков с граничными условиями нерегулярного типа и некоторые
построения
§5. Теорема «-кратной полноты в случае пучков нерегулярного типа 46 §6. Анализ условий теоремы
Глава III. Суммируемость обобщённых рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами
§1. Определение регулярности для пучков дифференциальных
операторов. Функция Грина
§2. Полюсы функции Грина
§3. Асимптотическое представление функции Грина и вспомогательные
леммы
§4. Формула разложения по собственным элементам пучка (1)-(2)
§5. Суммируемость по Фейеру рядов Фурье по корневым функциям пучка (1)-(2)
Литература

1. Вопросы разложимости функций в ряды по собственным функциям линейных дифференциальных операторов восходят к работам Фурье, Пуассона, Коши, Лиувилля, Пуанкаре, В. Стеклова, Д. Гильберта и др. Их решение в более общей постановке, в случае обыкновенных дифференциальных операторов, было дано в фундаментальных работах Г. Биркгофа [47]-[48].
Основательные исследования условий разложимости в ряды по собственным функциям эллиптических операторов, а также обыкновенных дифференциальных операторов имеются в работах В.А. Ильина и его учеников, [17]-[25]. В работах [30]-[31] В.Б. Лидского рассмотрены вопросы суммируемости по Абелю рядов Фурье по корневым векторам несамосопряжённых операторов определённых классов. Позже они рассматривались в работах [43], [44], [29], [34], [27], [45] А.П. Хромова, А.Г. Костю-ченко, A.C. Маркуса, В.Э. Кацнельсона, А.А, Шкаликова.
Пучки обыкновенных дифференциальных операторов впервые рассмотрены в книге [40] Я.Д. Тамаркина, где автор не затрагивал вопрос об n-кратных разложениях в ряды Фурье по системам корневых функций пучка. Это упущение было восполнено в фундаментальных работах [27], [28] М.В. Келдыша, посвящённых n-кратной полноте корневых векторов пучков линейных операторов и имевших большое влияние на последующее развитие спектральной теории. Оно отражено в работах И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [15], Дж.Э. Алахвердиева [1], С. Агмона [46], М.Л. Расулова [38], М.Г. Гасымова и А.М. Магеррамова [14], В.И. Мацаева [33], В. Эбе-гарда [49], А.И. Вагабова [3], Г. Фрейлинга [52] и др. Большое место принадлежит труду американских математиков Н. Данфорда и Дж. Шварца [16].

В теории пучков операторов, в частности дифференциальных операторов, остаётся много интересных проблем, имеющих конкретное содержание.
Данная диссертация посвящена изучению пучков обыкновенных дифференциальных операторов. Основное внимание уделено критериям п-кратной полноты корневых функций пучков, а также вопросу суммируемости рядов Фурье произвольных функций по корневым функциям пучка.
2. Дадим краткий обзор содержания работы.
Первая глава служит основой всего последующего текста. В ней дано изложение теории асимптотических по большому параметру решений системы линейных уравнений
Удалось понизить на единицу классические требования гладкости матриц Aj(x). Найдено решение, имеющее асимптотический вид:
в секторе S, keS, и являющееся обобщением классической асимптотической формулы. Здесь М(х) - матрица, трансформирующая А0(х)в диагональную матрицу D(x). Исключительно важно то, что указана оценка:
у'- к^к JAj(x)y = 0, a (2)
тахЕ»(х9Х) = 0(5(А,)), где 8(Х) определяется по формуле:
Xjyj
X, ) Х/(фД4)-фП5)к
5(к) = шах ДА/“1 (0(4(t)M(t) - M'(t))kj е *
X,k,j ,

показывающей характер её стремления к нулю при к —> °о, в зависимости от свойств гладкости матриц А0(х), 4 (х).

относящуюся к пучку 9-го порядка и / = 4. Здесь т0 = 3, т = 6. Неравенство т0 <1 <т исключает такой пучок из рассмотрений обоих теорем 1 и 3. Вопрос 9-кратной полноты этого пучка остаётся пока открытым.
5) Теорема 4. Неравенство х<1 при А^0, ^ =0, к$+кх<п и. при выполнении остальных условий 1)-7) необходимо для п -кратной полноты корневых функций пучка (1)-(2).
Доказательство этой теоремы имеется в [6, с.54].
6), 7) Необходимость этих условий показывает пример пучка
у _ Ху" + Х2у’ - Х3у, у(0) = у'(0) = у( 1) = О Здесь ф = 1,±/, 1 = 1, т0= 1. Многочлен из условия 7) соответствующий «классу» ф! = 1 равен
1 0 1
0 1
то есть условие 7) нарушено. Также нарушено условие 6).
Производные цепочки
Ук (зг) = (зтЬи:,А7гзтЬ1х,(Ь[)2зтАта:), к = ± 1,±2 ортогональны в
/.2(0,1) вектор-функциям Рп(х) = ((-2тш)2б'ш2кпх,(),ъп2ипх). То есть система корневых функций имеет бесконечный дефект в смысле трёхкратной полноты.