Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью

• Автор: Чистяков, Виктор Филимонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 287 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СВОЙСТВА ПЕРЕМЕННЫХ МАТРИЦ И

ИХ ПУЧКОВ

§1.1. Некоторые сведения о постоянных полу-

обратных матрицах

§1.2. Некоторые сведения о пучках постоянных

матриц

§1.3. Общие сведения о переменных матрицах

§1.4. Переменные матрицы постоянного ранга

§1.5. Предложения о существовании гладких

преобразующих матриц
§1.6. Переменные полуобратные матрицы
§1.7. Свойства пучков переменных матриц
§1.8. Вычисление полуобратных матриц и
индекса пучка матриц
ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОДУ И ИХ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ
§2.1. Постановка задачи. Примеры и определения
§2.2. Локальные свойства линейных систем ОДУ
первого порядка
§2.3. Свойства линейных систем ОДУ
первого порядка в ” целом”
§2.4. Линейные системы алгебро - интегральных
уравнений
§2.5. Ранговые признаки I, II
§2.6. Особые точки линейных систем ОДУ первого
порядка
ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§3.1. Необходимые сведения об интегральных и
дифференциальных операторах
§3.2. Свойства регулярных Дт_/ операторов
§3.3. Интегро - дифференциальные операторы,
приводимые к регулярным
§3.4. Обращение интегро - дифференциальных

операторов
§3.5. Подмножества кольца операторов Мд.
Нагружения и возмущения
§3.6. Нетеров индекс систем интегро -
дифференциальных уравнений
ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО -
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
§4.1. Общие сведения
§4.2. Невырожденные интегро - дифференциальные
системы
§4.3. Системы, удовлетворяющие критерию
’’ранг - степень”
§4.4. Регуляризация нелинейных интегро -
дифференциальных систем
ГЛАВА 5. ПРОБЛЕМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ИНТЕГРО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§5.1. Разностные схемы, используемые для численного решения интегро - дифференциальных
систем
§5.2. Трудности, возникающие при численном решении тождественно вырожденных
систем ОДУ
§5.3. Численное решение систем, удовлетворяющих
критерию ’’ранг - степень”
§5.4. Классы интегро - дифференциальных систем индекса выше единицы, допускающие прямое
применение стандартных численных методов
§5.5. Применение левых регуляризирующих операторов для численного решения интегро - дифференциальных систем
§5.6. Сингулярные возмущения интегро - дифференциальных систем
§5.7. О входных возмущениях и выборе шага
дискретизации
§5.8. Замечания о выборе метода решения

и некоторые другие вопросы
ГЛАВА 6. ТОЖДЕСТВЕННО ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§6.1. Необходимые сведения из вариационного
исчисления
§6.2. Вырожденная система Якоби
§6.3. Свойства квадратичного функционала
§6.4. Общий случай
§6.5. Метод наименьших квадратов
§6.6. Регуляризация по А.Н.Тихонову
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

условиям
A(t,e) -> A(t), B(t,e) -4 B(t), (t,e) -> ф(t).
Изучение систем ведется в весьма общих предположениях о гладкости матриц A(t, е), B(t,e) и вектор - функции
Класс вырожденных систем представляет специальный случай систем, удовлетворяющих критерию ’’ранг - степень”, что соответствует условию: в канонической структуре пучка (В.23) нет нильпотентных блоков порядка выше первого, их число не зависит от t. Этому же предположению удовлетворяет гамильтонова система Г.А.Куриной [50], в которой исследуется разрешимость двухточечных краевых задач. Показано, что при определенных условиях после первого шага понижения порядка исходной системы мы получим систему с блочной структурой, аналогичной исходной.
В работе В.И.Костина и Т.Л.Штыкель [47] рассматривается линейная АДС с с регулярным пучком постоянных матриц. Предлагается устойчивый по отношению к возмущениям входных данных метод, основанный на том, что решение ищется в классе функций с финитным спектром.
За последние 5 лет опубликован цикл работ (см. например [48, 49] и приводимую там библиографию). В этих работах подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса и Рунге - Кутты для решения специального класса АДС вида
У = /i(y,M), Z = /2(у,2,<),
где у б i?r, z б Rn~r, t б Т. Предполагается, что в окрестности начальной точки выполнено условие: det (En-r — df^/dz) ф 0. Это частный случай АДС, удовлетворяющих критерию ’’ранг - степень”. Класс этих систем, выделенный и изученный автором в 1979 - 1985 годах, неоднократно привлекал внимание и других исследователей, которые давали ему различные названия, например системы индекса один [125], преобразуемые (transferable) системы [117] и указывали различные критерии принадлежности.
АДС активно изучаются и за рубежом. В монографии [117], содержащей результаты группы немецких математиков: R.Maerz, E.Griepentrog’a, M.Hanke, R.Lamour’a, исследован ряд вопросов теории АДС и численных методов. Большое внимание уделено системам,