О функции Грина некоторых негладких задач

• Автор: Голованёва, Фаина Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 101 с.

I Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере
§ 1 Вариационная мотивация подхода
§ 2 Разрешимость дифференциального уравнения четвёртого порядка с производными по мере
§ 3 Свойства аналога определителя Вронского
§ 4 Непрерывная зависимость решения от параметра
II Краевые задачи четвёртого порядка с производными по мере
§ 1 Функция Грина сингулярной краевой задачи
§ 2 Свойство Я-положительности интегрального оператора в частном случае
§ 3 Невырожденность сильно сингулярной краевой задачи
§ 4 Одно представление функции Грина сильно сингулярной краевой задачи
III Положительная обратимость краевых задач четвёртого порядка с производными по мере
§ 1 Достаточные условия положительности функции Грина сингулярной краевой задачи
§ 2 Положительность функции Грина сильно сингулярной краевой задачи
§ 3 Пример нахождения достаточных условий положительности функции Грина
§ 4 Простота и позитивность ведущего собственного значения
Литература

Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена качественному анализу решений дифференциального уравнения четвёртого порядка
(Щё))«'"'- «>
с обобщёнными коэффициентами. Здесь — означает обычную производ-

ную, а штрих — обобщённое дифференцирование; функции р(х), Q(x) и F(x) предполагаются конечной вариации. В качестве решений рассматриваются непрерывно дифференцируемые функции и(х); первая производил d2u
пая которых абсолютно непрерывна; р-гщ — абсолютно непрерывна;
ах dxl
d ( d2u Гп
— р-— — имеет конечное на 10; II изменение.
dx dxl J
Изучению подобного уравнения, актуального в самых разнообразных
У, ;

разделах естествознания, посвящена обширная литература. Здесь можно отметить монографии Аткинсона Ф. [2], Завалищина С.П., Сесекина А.Н.
[21], а также работы [45], [55], [50], [29], [57], [59], [39], [56], [25], [4], [45],
[51], [37], [36], в которых изучались дифференциальные уравнения четвёртого, а иногда и произвольного, порядка. Особо можно отметить публикации: Дерр В.Я. — [14], [15], [16], [18], [19]; В. Dekoninck, S. Nicaise [17]; Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. [32], [33]; B. Lui [34].
Уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исследуются с позиций теории распределений (по Шварцу-Соболеву). Их изучению посвящена достаточно обширная литература (здесь мы ограничимся отсылками к библиографии в [2] и в [21]). Однако, в некоторых вопросах теория распределений оказывается бессильна. Известен ряд не до конца решённых проблем в теории обобщённых функций, например, проблема перемножения обобщённых функций.
В диссертации обсуждается вопрос о положительности функции Гри-

Положим
m(xs)
p(s)W(s)
K(x; s)
0i(s) 02(s) фз{s) 04 (s) 0i(s) 02(s) 03 (S) 04 (s)
01(5) 02(s) 03(e) 04(e)
01 (ж) ф2{х) ф3(х) 04 (ж) m(xs), если s
0, если s > ж.
Тогда функция Грина краевой задачи (2.1.1) имеет вид
G0(x;s) = K(x;s) - /^(0; s)0i(a;) - Кх(0; s)02fc)-
- рЛЖ"*!1; Ю0з(*) - ЫСУЛ1; «Ш®)- (2.1.8)
Проверка аксиом 1-4 для функции Go(x; s) осуществляется непосредственно. Теорема доказана.
Рассмотрим сначала краевую задачу (2.1.1) при Q(ж) = const, то есть задачу
(К'хУхЛ^) = ^(®);
д(0) = гф(0) = 0; (2.1.9)
^ОЧ'хХ1) = (р<х)х(1) = 0, функцию Грина которой обозначим д{ж; s). Явный вид д(ж; s) даёт следующая теорема.
Теорема 2.1.3. Пусть р(ж) € BV[0; 1], причём mip(x) > 0. Тогда задача
[OjlJ
(2.1.9) невырождена, и её функция Грина имеет вид:
g( ж; s)
(ж — £)(s — £) p(0
dt.
(2.1.10)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Невырожденность рассматриваемой краевой задачи следует из Теоремы 2.1.1.