Окрестности римановых кривых в комплексно-двумерных поверхностях

• Автор: Мишустин, Михаил Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Окрестности кривых с очень обильным нормальным

расслоением

§ 1. Определения и формулировки

§ 2. Формальные нормальные формы окресностей

§ 3. Необходимые факты о линейных системах

§ 4. Каркасы окрестностей

§ 5. Функциональные модули каркасов

§ 6. Склейки окрестностей сферы

ГЛАВА 2. Классификация окрестностей кривых и классификации
других объектов
§1. Двойственность окрестностей и групп автоморфизмов
§2. Окрестности и ростки особых кривых
ГЛАВА 3. Окрестности подмногообразий и глобальные свойства
многообразии
§1. Изоморфизм окрестностей и бирацнональная эквивалентность
объемлющих пространств
§2. О римановой сфере в псевдовыпуклой поверхности
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В предлагаемой работе рассматривается следующая задача. Если в комплексных многообразиях имеются изоморфные подмногообразия, то когда их изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма некоторых окрестностей этих подмногообразий в объемлющих многообразиях, и сколько существует неизоморфных окрестностей вложений заданного комплексного многообразия?
Эта задача возникает в теории обыкновенных дифференциальных уравнений по следующей причине. При бифуркациях общего положения особых точек некоторых динамических систем, в частности, гамильтоновых, в окрестности особой точки образуются инвариантные многообразия. Геометрия окрестности инвариантного многообразия и геометрия окрестности его образа при факторизации по орбитам динамической системы тесно связана с геометрией динамической системы. Эта взаимосвязь исследовалась В.И. Арнольдом в [19] для особых точек дифференциальных уравнений в С3 с невырожденной линейной частью. В этом случае инвариантные многообразие являются деформациями объединения сепаратрис, взятых с надлежащей кратностью; их образами при факторизации оказываются эллиптические кривые в комплекснодвумерных поверхностях. Более сложные подмногообразия возникают при исследовании деформаций особенностей дифференциальных уравнений типа Такенса-Богданова и других особенностей с вырожденными линейными частями.
Окрестности компкатных подпространств являются также хоршей моделью для исследования явления «материализации резонансов», то есть

для исследования геометрических объектов, препятствующих сходимости формальных рядов при приведении к нормальным формам. Резонансное поведение наблюдается, например, для окрестностей компактных кривых в поверхностях с нулевым индексом самопересечения. В этом случае сходимости препятствуют нетривиальные деформации конечнолистных накрытий кривой, появляющиеся при прохождении через резонанс деформируемой окрестности. Исследование деформаций этих накрытий можно производить в окрестностях с положительным индексом самопересечения, где семейства кривых устойчивы, а резонанс состоит в прохождении кривой через набор специальных точек.
Задача классификации окрестностей рассматривалась также Грауертом в [7] для построения морфизмов, обратных к раздутиям многообразий в точках. Для интересующего его класса нормальных расслоений им был получен практически исчерпывающий ответ; он был обобщен Косаревым в [13] для комплексных пространств с особенностями.
Эта задача представляет также интерес по следующей причине. Если изоморфные подмногообразия обладают сколь угодно малыми изоморфными окрестностями, дополнения к которым 1-выпуклы, то, как было показано в [27], изоморфизм окрестностей может быть продолжен до бирационального изоморфизма объемлющих многообразий, то есть до изоморфизма их открытых всюду плотных подмножеств, дополнения к которым являются объединениями конченого числа компактных аналитических подмногообразий. Таким образом, построение модулей окрестностей может оказаться полезным в задаче бирациональной классификации.
Очевидным необходимым условием существования изоморфизма окрестностей является их гомеоморфность. Топологический, и даже

по 4 функций перехода, деформация М, имеет вид 4 = Л'>' = 0,1, и, стало быть, & -струя по Л, функции перехода, выражающей координату 2ц через га на кривой .'■( (А,) определяется к -струями по 4 функций перехода между координатами (4>2„) и
При й > 1 изоморфизм заданной кривой и соответствующей кривой из универсальной деформации определен однозначно. При # = 1 кривая обладает однопараметрическим семейством автоморфизмов (сдвигов тора), так что ее представление в версальной деформации определено с точностью до автоморфизма, и представление семейства - с точностью до семейства этих автоморфизмов с той же базой. При £ = 0 кривая (проективная сфера) обладает трехпараметрическим семейством автоморфизмов, и, соответственно, представление ее деформации определено с точностью до семейства этих автоморфизмов с той же базой. Для g = 0 или £ = 1 предположим пока, что мы произвольным образом выбрали представления деформаций Ж0 и ЛИ, в базе универсальной деформации.
Опишем пространство модулей т -точечных дивизоров на заданной кривой из универсальной деформации. Каждый такой набор задает расслоение, ассоциированное с дивизором из этих т точек, и его каноническое сечение с точностью до множителя. При Л, = а 4Ш Л, = Ъ • г, и г->0 точки пересечения кривой А4(Л„) и кривой М,(Л,) стремятся к набору нулей сечения расслоения N, так что рассматриваемые
нами дивизоры задают деформации расслоения N над деформацией кривой и.