Оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа

• Автор: Долголаптев, Владимир Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 c. : ил

Глава I. Оценки скорости сходимости спектральных разложе

§1. Формулировка результата

§2. Основное равенство

§3. Оценки величин

§4. Оценки величин

§5. Оценка величины Ае

§6. Доказательство теоремы I

Глава 2. Точность оценок скорости сходимости средних

Рисса спектральных разложений

§1. Точность оценки скорости сходимости при
в(- ^ <о1
§2. Точность оценки скорости сходимости при

§3. Точность оценки скорости сходимости при
Глава 3. Сильная суммируемость средних Рисса
§1. Суммы Валле-Пуссена
§2. Точность оценок для сумм Валле-Пуссена
§3. Абсолютная суммируемость рядов Фурье
Литература

Проблеме сходимости спектральных разложений, связанных с различными эллиптическими операторами, посвящены многочисленные исследования ряда математиков. Подробную библиографию и обзор современного состояния этих вопросов можно найти в [I]
В настоящей диссертации получены точные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в //—мерной области • С
помощью этих оценок изучаются сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений функций из класса Никольского Нр • В одномерном случае такие виды сходимости изучаются, например, в монографии Г.Алексича [2]
Рассмотрим самосопряженное расширение оператора Лапласа -Л в лГ —мерной области 5? с дискретным спектром. Из работы Л. Гординга [4] следует, что хотя бы одно такое расширение всегда существует. Обозначим через / полную ортонормированную
систему его собственных функций, через и—соответствующие собственные числа. Введем средние Рисса порядка -<3 функции /бя/ из А (Я) следующим образом
Здесь {и ~ а и и) —коэффициенты Фурье функции по системе I и (г)]
Заметим, что все рассуждения справедливы и для произвольной фундаментальной системы функций оператора Лапласа в , без
конечных точек сгущения. Это понятие было введено В.А.Ильиным в работе [Ь] . Полная ортонормированная в £с? система функций [ч*] называется фундаментальной, если ичСт)е С1(52) и для некоторого числа удовлетворяет в уравнению гббА,-О.

Пусть число Э>0 и [«»] —неубывающая последовательность
целых чисел, удовлетворяющая условию: • Будем
говорить, что средние Рисса порядка разложения в ряд Фурье
по полной ортонормированной системе (Ц« ] функции £(?) сильно суммируются к $-(?) , если величина
У ^ ,0) %
£ ^ (V Г 4 ~у) 1 Г
(0.1)
1£-//Х !№-%в
стремится к нулю при и—* с— . ]/и еще называют суммой ВаллеПуссена функции ^Сос)
Средние Рисса абсолютно суммируются, если сходится интеграл
У Г/4(ь*>
(0.2)
Здесь 6 > О , Г>0
В одномерном случае оценки для сумм /п получены при помощи оценок скорости сходимости тригонометрических рядов, хорошо известных [3] . В случае //ъ£ для изучения (0.1) и (0.2) перед автором возникла необходимость в получении оценок скорости сходимости спектральных разложений. Эта задача вплотную примыкает к проблемам локализации и сходимости спектральных разложений. Изложим кратко историю вопроса.
В работе С.Бохнера [67 изучались разложения функций в //— кратный тригонометрический ряд с круговыми суммами. В этой работе установлен точный порядок средних Рисса <3= (У-4)/А, при котором справедлив принцип локализации для произвольной функции из 1-х
Б.М.Левитан 7,8_У перенес результат С.Бохнера на случай эллиптических операторов второго порядка. Я.Петре распространил его

по порядку.
Утверждение I. Пусть выполняется условие (2.2). Тогда для сколь угодно малого числа £т>0 существует функция из класса Нр(&) такая, что величина
<К~ С
р * (2.4,
является неограниченной при -и-*00 в некоторой точке То области
Доказательство. Докажем сначала лемму.
Лемма 1.2. Пусть [ 14*(к)$ -полная ортонормированная система собственных функций оператора Лапласа в Ж”'-мерной области ,
X? -любая внутреняя точка области £2 , г'ч/х'е-^/ , £ -кольцевой слой вида £=•[ Но , целиком содержащийся в Ни? ,
число > О . Тогда справедлива оценка
(2.5)
[ / 'С" Цч(То) (ТиТч.) / . —ІГ
Т (2 —^ г*г г
Е Г'т
Доказательство леммы 1.2. Обозначим
л Г і ‘==г* ^ I
^1=4 *
и заметим, что справедливо неравенство

В интеграле ^ Цъ(у)с(^ перейдем к угловым координатам и
(2.6)