Свободные колебания тонких упругих оболочек

• Автор: Асланян, Адольф Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 323 c. : ил

ГЛАВА I. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ОБОЛОЧКИ

ПРОИЗВОЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ

§ I. Система дифференциальных уравнений теории

оболочек. Граничные условия

§ 2. Эллиптичность по Дуглису-Ниренбергу.

Условия нормальной разрешимости

§ 3. Асимптотика функции распределения.

Формулировка результата

§ 4. Переход к постоянным коэффициентам

§ 5. Вспомогательная задача с постоянными

коэффициентами в ячейке

§ 6. Оценка функции распределения задачи
в ячейке снизу
§ 7. Оценка функции распределения задачи
в ячейке сверху
§ 8. Уточнение оценки сверху
§ 9. Оценка остаточного члена в формуле (3.3)
Глава II. СВЯЗЬ М0МЕНТН0Й ЗАДАЧИ С ЕЕЗМ0МЕНТН0Й
§ I. Вырождение моментной задачи в безмоментную
§ 2. Структура спектра безмоментного оператора
§ 3. Сверхнизкие частоты
Глава III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ
§ I. Основные уравнения и граничные условия.
Некоторые результаты

§ 2. Асимптотика нижней части спектра
безмоментной системы
§ 3. Асимптотика функции распределения при
фиксированном числе волн по параллели
§ 4. Формула для числа частот свободных
колебаний оболочки вращения с небольшим
числом волн по параллели
§ 5. Монотонная зависимость собственных
значений от длины отрезка
§ 6. Исследование осесимметричной системы в
окрестности точки З-СХ
§ 7. Формулы для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения при различных
граничных условиях
§ 8. Нули -компоненты
§ 9. Асимптотика функции распределения в
случае сферического пояса
Глава IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СВОЛОЧИ, ВЗАШОДЕЙСТВУЩЕЙ С ЖИДКОСТЬЮ
§ I. Постановка задачи. Формулировка
результата
§ 2. Вспомогательная задача. Вариационный
принцип
§ 3. Доказательство теоремы I
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящена математическому анализу краевой задачи, к которой сводится изучение линейных свободных колебаний тонкой упругой оболочки.
Под оболочкой понимается твердое тело, ограниченное двумя поверхностями, которое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. Всюду толщина/^ оболочки считается постоянной. Поверхность 3 , точки которой равноотстоят от поверхностей, ограничивающих оболочку, называется срединной поверхностью оболочки. На поверхности 3 выбирается некоторая криволинейная система координат Л , р так, что координатными линиями являются линии кривизны. Область изменения параметров X , р обозначается через (у •
Далее, предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен и что оболочка не имеет подкреплений.
Систему уравнений, описывающую свободные колебания оболочек указанного типа, можно записать в виде (см.Г 1,2,3,47 )
л/+Х)и=и, (Ар<»
Здесь и (Х) р)~ {и.1, Ц-з,) - координаты вектора перемещения точки срединной поверхности 3;Х ж А/ - дифференциальные операторы, содержащие дифференцирования по X и Р , причем X содержит не более двух дифференцирований, а V - не более четырех. Коэффициенты, входящие в выражения для операторов X иУ, зависят от ■ геометрических характеристик поверхности 3 •
Далее,X - спектральный параметр, пропорциональный квадрату частоты колебания оболочки.
Уравнения системы (I) основаны на линейной теории упругости

§ 2. Эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу. Условия нормальной разрешимости.
Обозначим через L^ оператор, порожденный системой (1.27) и граничными условиями (1.36). В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, 9 каких конкретно граничных условиях идет речь, будем
I ^if * ^ t ^) / * J А
писать ~ ')*) • Как уже отмечалось,
оператор Lfo является формально самосопряженным. Укажем также,
что оператор L^ неотрицательно определен. В самом деле, всегда
jj~ и для любой гладкой вектор-функции U. функционал У (и.) ,
определенный по формуле (I.I), неотрицателен; следовательно,
(L.U и.)-if(u)±D (I)

Гильбертово пространство вектор-функций и со скалярным произведением (1.7) обозначим через Хл (fr) . Норму в введем по формуле .
ЦиЦ- (iL'U.ßl
Наряду с функционалом (I.I) рассмотрим при некотором t >0 функционал
Jt[u) -X(u)+t[u,a) (2)
Из общих теорем теории самосопряженных операторов следует {[7], стр. 86, /52J, /53J, стр. 195)
Теорема I. Оператор L^ имеет дискретный спектр
*г±... ^ Апо)
с предельной точкой на + *=*» . Соответствующая ортоноршрованная система собственных вектор-функций
К) U. R) ,/*>и й) u^/j.Я) (4)
У"1Ар),
(5)