Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению

• Автор: Соболев, Сергей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 c. : ил

Список обозначений

Глава I. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от

квадратичной формы .,

§ І.І. Пространства а?

§ 1.2. Символы, зависящие от квадратичной формы, и

порождаемые ими меры

§ 1.3. Псевдодифт.еренциальные операторы с символами

класса Ж*
Глава 2. Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению

§ 2.1. Уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному

гиперболическому уравнению

§ 2.2. Доказательство разрешимости задачи Коши для
уравнения Хопфа
Глава 3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению
§ 3.1. Дифференцируемость по Фреше оператора сдвига
по траекториям
§ 3.2. Разрешимость уравнения Лиувилля
§ 3.3. Единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа
Литература

Список обозначений
Через М , 2. , IR. , С обозначаются множества натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. %+ ~ B{»ieZ| **<>}, ІИ+~іхє^Іхг0} , [zeCfie г>о]) С +={ге(С ) Ее г-г-о]
Пусть Л - область в R*1, Л - ее замыкание.
С(-Л-), С (А) пространства непрерывных функций на Л и Л
СВк(Л)5СВК(ГА) пространства непрерывных ограниченных функций с
непрерывными ограниченными производными до к-го порядка включительно С о (Л) пространство к раз непрерывно дифференцируемых
функций с компактным носителем в Л ( к е Ж + или к - + <** )
пространство обобщенных функций S(ir-) пространство Шварца бесконечно дифференцируемых
быстро убывающих функций
пространство обобщенных функций умеренного роста LFU) пространство (классов) измеримых функций на Л ,
суммируемых с р -й степенью
Ilf# .(iifв
L~(sl)
L? J > L3'
пространство существенно ограниченных измеримых
функций на Л
II f II = sap ess I $ О) I L°° хбЛ
^ б«с. (Л) пространство локально интегрируемых функций на Л
Н“(л) Н*(л) - {л sTf ^ и1ш, і -і«л.}
Здесь JneZ + > S) |

Ол)
H5£ft.),Hfa)
Пусть V
LP(o, T;V)
C(Co,TJ;V)
<-,*>
^(X)

T г A Ъ(Х)
I /4
(Л Ы
F, F”1

jo4l= ol
l°M É W,
замыкание пространства C0Aft) в пространстве НУл). В случае ограниченной области Л используется
норма II fi Л = ( ZI II $>*" £ II1 )
joli в VAпространства Соболева нецелого порядка s е R +
сопряженные к пространствам Н?(л) и Но(Л)
- рефлексивное банахово пространство с нормой 1Ы1-у ,
пространство измеримых отображений £ : [o,Tj -* V,
Ф Р
для которых S dbt <+«> при р > 1 }
Su-P ess ц£С-Ь) IL_ < + otJ при Р — + .
■Ье Со,Г] т V гг
пространство непрерывных отображений J>,T3-*‘V сопряженное к банахову пространству X соотношение двойственности между X и X*
алгебра ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве X тождественный оператор след оператора А
в -алгебра борелевских подмножеств топологического пространства X полная вариация меры yU~ площадь единичной сферы в пространстве Ifcv преобразование Фурье и обратное ему (с. 22 и 44) производная по ± и производная Фреше по у, функционала , определенного на fc*Y ,
где Y - банахово пространство

Оценим \^(у)\ для уе л± . Имеем
Я^'лЦ "Р'-Е + Mu-w*-1«. II
« DpO-e + IIЛ‘Ч_1.£-<-IIU.II« СЛf lp*_£■'•|l“-*i_c * II“фи )
Положим
(2.17) A(f)=Hpll-s +l'u'l,1_£ +Ии-И^ , где .
Заметим, что для "U е uU4,-1
Л(^)« С С»р« +1И-Ч )Ä C^fi + Hfvi) 1'.
Итак, функция Л непрерывна на пространстве Л± , и для нее выполнены оценки (2.16)
Следующая лемма позволяет всякую борелевскую меру т. на пространстве Л (в частности, определенную ранее меру ytc £ ) продолжить до борелевской меры на пространстве М.± , определив это продолжение по формуле
rri(Q) = УП (Q О 1L) для Q & 7£>(JAd)
Лемма 2.1. Пусть Е и В± - сепарабельные рефлексивные банаховы пространства с непрерывным и плотным вложением Е с £ .
Тогда Е^ЙЗб^) и % (Е) = {Xл Е I X £
Доказательство. Пусть {u)K$cEd ~ счетное множество, плотное в замкнутом единичном шаре ßпространства Е* . Тогда замкнутый единичный шар пространства Е является борелевским

подмножеством пространства Е^ , поскольку
ВЕ‘ п {gcEililsi] .
Отсюда следует, что fö(E) с. (Е±) и, в частности, Е е Ъ(Е±). В силу непрерывности вложения Е<=■ Е± имеем Хп Е 6 %(Е) для Xе (ß(Ed) , Учитывая, что ß(E)c ШЕ±) , получаем, что
$>(Е) = {ХПЕ I Xe 92{Ed)J