Слабые пределы решений задач о движении неоднородной жидкости

• Автор: Саженков, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 116 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Введение
Глава 1. Задача о движении твердых тел в неньютоновской несжимаемой жидкости.
1. Постановки задач.
2. Разрешимость задачи А о движении неньютоновской жидкости.
3. Разрешимость задачи Б о движении твердых тел в неньютоновской жидкости.
4. Приложение.
Глава 2. Преобразование Лагранжа. Теоремы существования и единственности решений кинетических уравнений.
1. Постановки задач и результаты главы 2.
2. Оператор Лагранжа.
3. Доказательство теоремы 1.3 о лагранжевом преобразовании уравнения Л.Тартара.
4. Доказательство теоремы 1.4 о лагранжевом преобразовании транспортного уравнения.
5. Доказательство теоремы 1.1 о разрешимости уравнения Л.Тартара.
6. Доказательство теоремы 1.2 о единственности решения транспортного уравнения.
7. Приложение. Задача о движении неоднородной
вязкой несжимаемой жидкости с быстроосциллируюгцими начальными данными.
ЛИТЕРАТУРА

с. 2 О

ВВЕДЕНИЕ.
1.1 Общие положения и обзор известных результатов.
Движение сплошной среды, занимающей объем П С Я" (ограниченный или неограниченный), описывается системой динамических уравнений [1], состоящей из уравнения неразрывности (баланса массы)
Др + ду(рй) = 0, (ж,£) € О х [О,Г], (1.1)
уравнения количества движения
рДи + ри УЯ = сйуТ + р/, (ж,£) 60 х [0,Т], (1.2)
уравнения момента количества движения
рДЛ1 = рд + У<3 + (ж ® ж) : Т, (ж,£) € 12 х [0,Т]. (1.3)
Здесь х - радиус-вектор точки пространства Дп, [0,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, р = р(х,£) - плотность, й = Я(ж,£) - вектор скорости, Т = ИдЦ”! - тензор напря-—* —* —►
жений, / = /(ж, 2) - вектор массовых сил, Л4 - внутренний момент
количества движения, д, = (п - распределенные массовые и поверхностные пары сил (Я - вектор нормали к поверхности).
При изучении движения определенной сплошной среды уравнения
(1.1)-(1.3) конкретизируются заданием специфических свойств среды и вектора массовых сил, постулированием реологического уравнения
Т = Т (*, ж, и, (1.4)
то есть заданием зависимости тензора напряжений от кинематических величин t, ж, й и некоторого набора скалярных констант {рг-}.
Математические исследования уравнений (1.1)-(1.4) мотивируются потребностями развития технологий промышленного производства, стимулируются совершенствованием численных методов решения задач математической физики и постоянным улучшением применяемой для расчетов вычислительной техники. Результаты и методы решений, получаемые при изучении проблем механики сплошных сред находят свое место в теории дифференциальных уравнений, а потому представляют и самостоятельный научный интерес.

В первой главе настоящей диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения неньютоновской несжимаемой жидкости при отсутствии внутреннего момента количества движения и распределенных пар сил, то есть М, $ и ф тождественно равны нулю. Условие несжимаемости и уравнение неразрывности (1.1) эквивалентны уравнению переноса
Dtp + йЧp = 0, (ж, £) € Р х [О, Т] (1.5)
и условию соленоидальности поля скоростей
сВум = 0, (х, Ь) € О х [0,Т]. (1.6)
Вследствие М = 0:(1 = 0иС2 = 0 уравнение (1.3) специализируется в равенство вида
(1-7)
которое выражает свойство изотропности (невыделенности направлений) среды.
Реологическое уравнение вязкой несжимаемой жидкости имеет вид
Т = -р*1 + ту, (1,*)бх[0,Т], (1.8)
Г 2. %
где I = ||<У"р=1> <% = п’ , Р* - давление в жидкости, тензор
(6, г
ту - так называемая ’’вязкая” часть тензора напряжений.
Если ту определяется законом Стокса [1],
ту — 2рО(й), (1.9)
где В(й) = + П{)\=1 - тензор скоростей деформаций, р > О
- коэффициент вязкости (р не зависит от и в явном виде), то уравнения
(1.2), (1.5), (1-6), (1.8), (1.9) (заметим, что равенство (1.7) выполняется автоматически) описывают движение изотропной линейной вязкой несжимаемой жидкости и называются уравнениями Навье-Стокса. Теория этих уравнений очень обширна и включает в себя, в частности, ответы на вопросы о корректности задач в ряде функциональных классов. Отметим, что основные результаты о существовании и единственности решений в пространствах Соболева содержатся в [2], [3].

Комбинируя (2.42) и (2.44) находим, что
[ [Дф(ф- щ) + а(р,£,й£)ф + йе ® (<р - й£) : Хй£ - /(ф- йе)}г1х(И Щт
а(ц£,и£)й£йх(И. (2.45)
На основании формул (2.35), (2.37), (2.38) переходя к пределу при е —> О в неравенстве (2.45) выводим, что
[ [Дф(ф — и) + хф + и®(ф—й) : Vи — /(ф — и)]дхйЬ
Ф От
> liminf a(/ii£,u£)uedxdt. (2.46)
Предложение 2.1 Справедливо неравенство
lim inf a(jj,£,u£)u£dxdt > d(/a,u)udxdt.
Доказательство предложения 2.1 основано на следующем известном . утверждении [33, гл.5].
Предложение 2.2 Пусть X - рефлексивное банахово пространство, v£ —> V слабо в X, тогда справедливо неравенство
liminf ||üe||;c > \v\x-

Доказательство предложения 2.1.
d(fis,us)usdxdt = Jq p£D(u£)pdxdt = f (fie- p)D(us)pdxdt + f pD(ue)pdxdt = If + if.
Здесь
I{ < L ße ~ ß(D{u£)p - Mp)dxdt + j fie- fiMpdxdt = Гп + Jf2.
>Qt ‘ ,V, V e,, / jQt
ff2 —> 0 в силу формулы (2.38), 1ф —> 0, поскольку Ih Ф- ~ far ße ~ ßMpdxdt —> 0 при £ —> 0 и
ifi < JQt ße~ß[D(u£)p~Mp]+dxdt < /J,£-ia([D(u£)2-M2]+)p/2dxdt