Развитие метода регуляризации для сингулярно возмущенных задач в абстрактных пространствах

• Автор: Елисеев, Александр Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 193 c. : ил

ГЛАВА I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В КОНЕЧНОМЕРНОМ БАНАХОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ КРАТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ I. Уравнение разветвления для задачи Коши, ногда

Д(ь)еЗ[А'>

§ 2. Постановка задачи и построение пространства безрезонансных: решений

§ 3. Свойства операторов оС* в пространстве Е

§ 4. Специальные проекторы и обобщенная лемыа Шмидта

§ 5. Некоторые свойства многочленов

§ 6. Основные теоремы метода регуляризации

§ 7. Построение формального асимптотического решения

§ 8. Оценка остаточного члена

§ 9. Асимптотическое решение задачи Коши в случае
dim Е ~3» и . dim В-4
Глава II. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ
ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
§ I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих функций
§ 2. Пространство безрезонансных решений

§ 3. Свойства оператора Jf0 в пространстве Е
§ 4. Основные теоремы метода регуляризации
§ 5. Построение формального асимптотического решения
§ 6. Оценка остаточного члена
§ 7. Свойства спектральных операторов
Глава III. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
§ I* Выбор регуляризирующих функций

§ 2. Пространство безрезонансных решений

§ В. Свойства оператора в пространстве И ... III
§ 4. Основные теоремы формализма метода регупяриза-

ции
§ 5. Построение формального асимптотического решения
§ б. Оценка остаточного члена
§ 7. Пример решения сингулярно возмущенной задачи
Коши
Глава IV. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В СЛУЧАЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
§ I. Регуляризация задачи. Выбор регуляризирующих
функций
§ 2. Пространство безрезонансных решений
§ 3. Свойства операторов в пространстве

§ 4. Основные теоремы метода регуляризации
§ 5. Построение формального асимптотического решения
§ б. Оценка остаточного члена
Глава V. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА
ПРЕДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
§ I. Выбор регуляризирующих функций
§ 2. Пространство безрезонансных решений
§ 3. Основные теоремы формализма метода регуляризации
§ 4» Построение формального асимптотического решения
§ 5. Оценка остаточного члена
§ 6. Пример решения сингулярно возмущенной краевой
задачи
ЛИТЕРАТУРА

В диссертации рассматривается алгоритм теории сингулярных возмущений, позволяющий строить асимптотические решения любого порядка задачи Коши и краевых задач для дифференциальных уравнений в ба-наховом пространстве гЬ . В основу разработки алгоритма положен метод регуляризации сингулярных возмущений, принадлежащий С.А.Ломо-ву и разработанный им для различных классов сингулярно-возмущенных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных ( 032]-[39]).
Теория возмущений, как известно, имеет дело с задачами следующего типа. Пусть в банаховом пространстве 1ь заданы два оператора Лг£ и 1^0 областями определения ) и £) (&») . Образуем семейство операторов ■*- и рассмотрим
уравнение
и Л.'*' Л2) ^ |, (0.1)
где £ - вещественный параметр, 0 < с с < 1. Если Ф(А2) £ ОСА.) , то решение (0.1) можно искать методом Пуанкаре, то есть
^ /л
Ь ЕМ МлI ’ ем , К
1с-о
При дополнительном предположении, что оператор %6 равномерно обратим по £ , можно показать, что при £-^ О имеет место
оценка
= 0(1), (0.3)
Такие задачи называют регулярными в точке 6 = 0 , и ниже мы изложили основную идею классической теории возмущений.
/Ч , А _^ Л _£
Из решения видно, что если 4ъ€р , ТО “ЭСбЕ , х=7£0 Ь.
§ 5. Некоторые свойства многочленов
Как мы увидим в дальнейшем, функции ^ (-О , входящие в определение операторов ^ будут определяться из некоторых алгебраических соотношений, диктуемых “условиями ортогональности".
Для этого нам понадобятся свойства формальных степенных рядов.
Пусть дан формальный ряд 2 £ % , . Тогда справедливо

со ОО
[2е]
где коэффициенты Рк ^ вычисляются по формулам
Из определения многочленов следует, что и более общая формула
Важно отметить, что 1^*+*, * не содержит членов с
Лемма С 1.2.). Для многочленов верна формула сложения к-(г’-1)