Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях

• Автор: Демина, Татьяна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 104 с.

1 Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях

§ 1. Постановка смешанных задач. Теоремы существования н

единственности решений

§ 2. Доказательство единственности решения смешанных задач

§ 3. Доказательство существования решения задачи 1

§ 4. Доказательство существования решения задачи 1

§ 5. Задача Неймана

2 Краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях СО

§ 1. Единственность решения смешанной задачи

§ 2. Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде ... Со

3 Краевые задачи для гиперболических уравнений в многомерных областях

§ 1. Постановка краевых задач
§ 2. Единственность решения смешанных задач в цилиндрической области
§ 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения в прямоугольной области
Заключение
Список литературы

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.
Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так п их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии п других областях. Поэтому разработка методов решений краевых задач для уравнений смешанного типа является одной из важных проблем современной теории дифференциальных уравнений.
Теория уравнений смешанного типа берет свое начало от фундаментальных исследований Франческо Трикоми, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия.
Впервые задача нахождения решения уравнения смешанного типа в смешанной области была поставлена и исследована для уравнения
У^ХХ Т Муу — О5 (^-1)
которое сейчас называют уравнением Трикоми. Ф.Трнкоми изучил краевую задачу (задачу Трикоми) в области, гиперболическая часть которой

ограннчена отрезком действительной оси [0, 1] на линии перехода и двумя пересекающимися характеристиками, исходящими из точек (0, 0) и (1,0).
Исследования были продолжены в 30-е годы М. Чибрарио и С. Гел-лерстедтом. Обобщения результатов Ф. Трикоми для уравнения
У ^тх "Ь Муу
принадлежат С. Геллерстедту.
С.А. Чаплыгин показал, что построение теории газовых струй тесно связано с изучением уравнения
к(у)ихх Ф Щ/у = 0?
которое в настоящее время носит его имя. Коэффициент к является известной функцией переменного т/, которая предполагается положительной при у > 0 и отрицательной при у < 0. Случай к(у) > 0 соответствует дозвуковому течению, а случай к (у) < 0 - сверхзвуковому течению газа.
При изучении околозвукового течения газа приходится иметь дело с уравнением Чаплыгина в смешанных областях.
Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, в которых было показано, что задача истечения сверхзвуковой струн из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина. М.А. Лаврентьев предложил

Подставив значения «д., Ьк, «о, &о = &о в (1-74), получаем
Почленно дифференцируя ряд (1.76), находим производные
^ Щ*1% х + ткні% (1 - х) тгЛ:
"ц (■'? У) = 7 Г^д «и —у, (1.7,,
к=1 У
^пкс^х-гщс^{1-х){ . пк ^ ,1>у{Л
■?.<*•»> = Е (—тД <ш>
^ щ сЬ^ .г - ШД.СІІ7Г (1 - -г-) лА л А;
>7,(■'? 1=1 811 13 ИИ
щьі*-х + тк^-(1-х)жк( . л А: ^ /1от
«!,*(*, я) = 2. 7^ “8111 у^)’
^ /Ц-СІ7 .г - тдсЬу (1 - т) тгАт ^ лА „ оіх
■»<*■»> = Е у (- «• 7»;- * *
".У,
1-1 л“ Р
Докажем, что (1.76) есть решение задачи (1.8), (1.70) - (1.71). Используя условия 1), 2) теоремы 1.3, проинтегрировав по частям формулы
(1.75), нетрудно показать, что коэффициенты Фурье шд н пк не превос-С С‘2
ХОДЯТ величин 7 II 7 СООТВЄТСТВЄННО, А- = 1, 2, . . . , С = Сі+С‘2
(?) (?)
00 С л
Ряд (1.76) мажорируется сходящимся рядом 7 ,Г~ с^7’ *)ЯД 7"~) ~
Д-1 (у) '

рядом 7(к| + Ы),Ряд (1.78) -рядом 7 (М + К|)сИі-,ряд (1.80) 1=1 1