Обобщенные решения возмущенных включений с многозначным отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений и функционально-дифференциальные включения

• Автор: Беляева, Ольга Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 120 с.

'] ■ ч

Основные обозначения

Глава 1. Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

Глава 2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.1. Выпуклая по переключению оболочка множества в пространстве суммируемых функций и "овыпукленное" по переключению
отображение

§2.2. Обобщенное решение возмущенного включения

§2.3. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, представляющим некоторое множество, содержащее
нуль
§2.4. Обобщенное решение возмущенного включения с ядром оператора V, состоящим только из нулевого элемента
Глава 3. Краевые задачи для обобщенных решений
функционально-дифференциальных включений
§3.1. Квазилинейная краевая задача функциональнодифференциального включения
§3.2. Существование обобщенных решений квазилинейных краевых задач функционально-дифференциальных включений .. 102 §3.3. Обобщенные квазирешения и "бэнг-бэнг" принцип для обобщенных решений квазилинейных краевых задач функциональнодифференциальных включений
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Основные определения и некоторые обозначения содержатся также в Главе 1.
А П В - пересечение множеств А я В А С В - А подмножество В а £ А - а принадлежит А
Ах В - декартово произведение множеств А я В
А + В - алгебраическая сумма множеств А я В
2Л - множество всех непустых подмножеств множества А
Вх[х,г] - открытый шар в метрическом пространстве X с центром в точке х и радиусом г > О
Ае - замкнутая е- окрестность множества А
0 - пустое множество
Е(-,в) - в фиксировано, Е - функция лишь первого аргумента
Е(£, ■) - t фиксировано, Е - функция лишь второго аргумента
РхЬ •] ~ расстояние в метрическом пространстве X и расстояние между точкой и множеством в этом пространстве. р[-, ■] = /%п[-, ■]
^х[', ■] ~ расстояние по Хаусдорфу в метрическом пространстве X /*[■>•]
А - замыкание подмножества А в метрическом пространстве X
0,(Х) - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств линейного метрического пространства X
со А - выпуклая оболочка множества А, со А = со А
ext А - множество крайних точек множества A, extA = ext А
К" - пространство n-мерных вещественных вектор-столбцов х, х = со1{жх жп}, Xi G Ж”, i = 1,2 п с нормой | ■ |
comp[Rn] - множество всех непустых, компактных подмножеств пространства Жп
Жгахп - пространство всех квадратных пхп- матриц с согласованной с пространством Жп нормой | ■ |
С[а, 6] - конус неотрицательных функций пространства С1 [а, Ъ].

Ьр(и) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы —Кп (Ы С [а,Ъ - измеримое по Лебегу множество, ц(Ы) > 0, д.(-) - мера Лебега) с нормой
и отношением полуупорядоченности х ^ у, если х(£) ^ ?/(£) при почти всех t Е [а, Ъ]
Ь+[а, Ъ) - конус неотрицательных функций пространства Ъ[а, Ъ]
П[Ь"[а, Ь]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ь"[а, Ь]
<2[Ь”[о, Ь]] - множество непустых, замкнутых и ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства 1ц [а, 6].
О,{0>и{[а, Ь]]) - множество непустых, замкнутых, выпуклых, ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ь”[а, Ь].
£7(П[1ф[а, Ъ]]) - множество всех непустых, замкнутых, выпуклых, ограниченных и выпуклых по переключению подмножеств пространства
0(сотр[Мп]) - множество всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства К".
5(Л) = {у Е Іц[а, Ь] : у (і) Є Р (і) при п.в. і Є [а, Ь]} , здесь ¥ : [а, Ь]
-л сотрріі”] - измеримое отображение.
О”[о, Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, Ъ] —> К71 с нормой ІИІ^М = |ж(а)| + ||ж||Ьп[0)Ь]
Сга[а, 6] - пространство непрерывных функций х : [а, 6] -У К с нормой
и отношением полуупорядоченности х < у, если x(t) < y(t) при всех t Е [а, Ъ].
||Л||х = sup||o||x, где А - подмножество нормированного абА
пространства X.
Щ|| — 1И||е», где А - подмножество пространства К”.
/ Ф = < / x(t)dt : х Е Ф > , где Ф С 1ф[а,Ь] и Ы С [а,Ь] измеримое.
1И1о[а,г>] = max{|sc(t)| : t Є [a,b]}

Пусть t Е (а, 6] и пусть kj(t) - такой номер интервала Ц,г = 1,2,, 2 что t Е Тогда согласно (2.1.25) получаем равенство
t t
j(Vj(s) ~ [a,t]n74
Отсюда, поскольку < 8(e) при j ^ jo, получаем оценку

Ш J(ipj(s) - (s)|ds < 2e,
ß, jkj{t) kj(t)

Ф т.е. равенство (2.1.24) имеет место. Из (2.1.24) непосредственно вытекает,
что для любых r,t Е [а, Ь] справедливо соотношение

lim f ( j-+cv J

Д1 Далее, пусть U С (а, 6) - измеримое множество и пусть Е = (J (а.^, Ь*)

((а*, bj) _ составляющие интервалы множества Е) - такое открытое мно-

жество, что U С Е и р(ЕЫ) < 8{е). Обозначим И = IJ (щ, hj) и

В = (J (a,i,bi), причем число р выбрано так, что д(£>) < 8(е). В сиг=р+1
ф лу равенства (2.1.26) найдется такой номер j, что для любого j
выполняется оценка
I I({s))ds < е.

Ф Отсюда и из определения числа 5(е) > 0 получаем при j ^ ji соотношения
Ф I JOj(s) - ¥>0))*»1 = I J(fPj{s) - U E Eu
щ < I J (Vjis) - p(s))cM + I J( А В EU