Интегральные преобразования и параболические потенциалы применения их к решению некоторых смешанных задач

• Автор: Гасымов, Эльмага Агагасымович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 158 c. : ил

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ЛИШЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА И ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ
§ I. Построение фундаментальной матрицы (ф.м.)
§ 2. Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений при больших значениях I А
§ 3. Построение ф.м. и асимптотические формулы решений
одного уравнения высшего порядка
§ 4. Формула обращения вектор-функции
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. Постановка задачи
§ 2. "Правильные" краевые условия некоторого дифференциального оператора с параметром и основные формулы обращения вектор-функций
§ 3. Представимость решения в виде интеграла по линиям в комплексной плоскости
§ 4. Существование и единственность решения смешанной
задачи
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ НА
СОПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ РАЗНОГО ТИПА
§ I. Постановка задачи
§ 2. Асимптотическое представление решения краевой задачи с параметром и "правильные" краевые условия
§ 3. Представимость решения в виде интеграла по прямым
§ 4. Существование и единственность решения смешанной

задачи
ГЛАВА 4. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ.В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
§ I. Постановка задачи
§ 2. Решение вспомогательной задачи и "правильные"
краевые условия
§ 3. Представимость решения в виде интеграла по линиям
в комплексной плоскости
§ 4. Существование и единственность решения смешанной
задачи
ГЛАВА 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В
ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ
§ I. Постановка задачи
§ 2. Фундаментальная матрица решений (ф.м.р.) и некоторые оценки
§ 3. Параболические потенциалы и формулы скачков
§ 4. Формулировка основных теорем и их доказательств
ДОПОЛНЕНИЕ
§ I. Интегральные преобразования
§ 2. Применение интегрального преобразования к решению
смешанной задачи для одного неклассического уравнения
ЛИТЕРАТУРА

В начале XIX в.Фурье предложил метод (так называемый метод разделения переменных) для интегрирования (некоторых) линейных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях (задача I). Этот метод и в настоящее время успешно применяется при решении смешанных задач для линейных и квазилинейных уравнений (см.напр.[9] ,2& ). Применение метода Фурье к решению смешанных задач с разделяющимися переменными приводит к задаче разложения произвольной функции из некоторого класса по собственным функциям соответствующей спектральной задачи (задача 2). Если оператор, определенный задачей 2, не является самосопряженным, то отсутствует ортогональность собственных функций и вопрос существования, полноты системы собственных функций, вообще говоря, остается открытым.
В 1827 году Коши [28] для решения задачи I с достоянными коэффициентами предложил новый метод (вычетный метод). Суть метода заключается в представлении произвольной функции /(х) в виде интегрального вычета от дроби сО($, » где функция
, ос]) при всех значениях ^ удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному уравнению, а при значениях ^ , обращающих знаменатель в "О", сверх того, и предельным условиям.
В 1917 году Я.Д.Тамаркин [21] отмечает:
I. Рассмотрение интегрального вычета функции
^ я)
(по методу Ро1п с а г ) лишь в частных случаях приводит к разложению произвольной функции (х) по фундаментальным функциям во всем пром. ( я , £ ), включая и концы. Для получения более общих результатов необходимо исследовать представление функции

о I / ч ч/(^)/, . ч ^ Р< (S.i~) ч ^ ,($) ч /V
У^=1^Д' л' *
;ъ(ь^А^%4с'М-^Ь^т < = (ю)
-2Р+^"|^?^Г^ЙД- в случае 3° ( ^(0=4^/^ - В случае
з1), (1,0 ■=- ^ £&Щ % 0(х-1) + ^ л й $%)
+ №*)]/ +|Цм{/|,Д ^ + >** £?' V)
+ в(ле)]1 + Л)},, > Ыге+ у- ’
^ + + - в случае 3°,//’ ^А)=2. Г(^>)х
Р л
- в случае З1. (53)
Следовательно,
|н|,Ы^)ИС0',й-1аГ. "=гг2РЧ> ?йГ1>’ Л£*Г' |>='^- (54>
Используя (16),(17) в случае 3°, а в случае 3* - (18), получим |С^](х>%с^-1Л^^е*/,/"Г<Л1^£И1> **1^ , К=МР. , (55)

где /(ж) - £ “ ^ , Л= I; ^ и $Хх) - . , ]^1^1 ,1 Д1 ;при
^ ^ Р V
оценке Л *• I/ (ос. Л) используется то, что У . (*> X) есть решех ние однородного уравнения, соответствующее I - му уравнению
из (I). Из (Обследует, что существуют такие числат..^-°° °°),
для которых при выполняются*
|"Щ к^|~ со/75^-|^| гь (к“*)*4, » 3~ |,А/> ь - 1 >п)
(56)
й Целесообразно выбрать числа : наименьшими до мере
возможности.