Эллипсоидальные методы для задач управления при неэллипсоидальных ограничениях

• Автор: Кирилин, Михаил Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с. : ил.

1 Достижимость управляемых систем без неопределенности

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи

1.3 Внешние и внутренние эллипсоидные аппроксимации для суммы эллипсоидов

1.4 Внутренняя эллипсоидальная аппроксимация

1.5 Тугая внутренняя аппроксимация и рекуррентные уравнения

1.6 Внешняя е-окрестность множества достижимости

1.7 Внешняя эллипсоидальная е-аппроксимация

1.8 Тугая внешняя £-аппроксимация и рекуррентные уравнения

2 Достижимость управляемых систем при неопределенности с управлением без обратной связи при конечном числе точек коррекций

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи
2.3 Эллипсоидальная внешняя е-аппроксимация множества достижимости
типа max min
2.4 Множество достижимости типа max min
2.5 Множество достижимости типа min max с к точками коррекции
2.6 Множество достижимости типа max min с А: точками коррекции
2.7 Алгоритм построения внешней аппроксимация для множества достижимости с к точками коррекции
2.8 Примеры
2.9 Алгоритм построения е-касательных эллипсоидов для произвольного выпуклого множества
3 Достижимость управляемых систем при неопределенности и управлении с обратной связью
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи
3.3 Эволюционное уравнение
3.4 О непрерывности сверху и снизу решения эволюционного уравнения
3.5 д-окрестность множества достижимости
3.6 Внешние и внутренние эллипсоидальный аппроксимации для симметричного невырожденного многогранника
3.7 Внешние и внутренние аппроксимации исходной задачи
3.8 Внешние эллипсоидальные аппроксимации, находящиеся в д-окрестности исходной задачи
3.9 Внутренняя эллипсоидальные аппроксимации, находящиеся в д-окрестности исходной задачи
3.10 Примеры
Заключение
Список литературы
Вопросы, рассматриваемые в настоящей диссертации, относятся к математической теории процессов управления движением: задачам вычисления областей достижимости управляемых систем. Подобные проблемы возникают в задачах автоматизации процессов реального времени, оценивания состояния управляемых систем и верификации гибридных систем.
Изучаемые системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, в которых наряду с управлением присутствуют также возмущение или неопределенное воздействие. Предполагается, что начальное состояние, управление и неопределенное воздействие стеснены ’’жесткими” геометрическими ограничениями. В рамках данных ограничений можно выделить три основные постановки задачи достижимости, рассмотренные в данной работе: достижимость без неопределенности; достижимость в условиях неопределенности с управлением без обратной связи и конечным числом точек коррекции траектории; достижимость с неопределенностью и управлением с обратной связью. Несмотря на линейность системы дифференциальных уравнений, задача построения области достижимости при неопределенности и управлении с обратной связью является нелинейной. Последнее объясняется тем, что управление принадлежит классу многозначных отображений, зависящих от траектории системы, после подстановки которой в исходные уравнения система принимает вид нелинейного дифференциального включения.
К настоящему времени разработан широкий спектр методов для решения задач достижимости, разрешимости и синтеза управления.
Альтернированный интеграл, введенный Л. С. Понтрягиным в работах [35, 36], рассмотренный в обратном времени, позволяет свести вычисление множества дости-

Р1,, = (/,р+«о1/2, Р2., = (1,я;тф-Здесь матрицы Р(+(£), для каждого фиксированного вектора I 6 5 удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
р/й = Л(«)р,+(0 + ^+(0-4'М+
+ ЕГ=1 *'(0^+№ + ЕММ)"1^) 3«№т ,,
^,+ Оо) = (ЕГ=°, Ро,<)(Е1(Ро,;)_1^,°,). 1 ;
р+(«) = Л(()р+(<) + Р(0рЙ> Р+(*о) =
<гг(0 = лй<эгй + огйл'й+
+<г«-(Е2151(г)с(г)(<Ы*))*) + (2^.Ю»Ю) Г216ч
ОГ(*о) = о, {2ЛЬ)
4 (г) = д(()?-(<) + с(г)д(г), ? (<0) = о.
Параметры данных уравнений 7т)(<), 5^(4), Ро^ выбраны в соответствии с уравнени-

Po,i = (X'(t,to)l,XiiX'(t,to)l)K i = l m0 7rj(s) = (l,X(M)ß(s)^(s)P'(s)A:'(t,a)Ol/2,s € [to,*], j = l rnp (2.17)
Sll(s)C(s)(Qilk(s))iX'(t,s)l = A*(s)p'> k = l mg
для некоторых чисел Alk(s) u векторов pl.
2.4 Множество достижимости типа max min
Теперь рассмотрим задачу построения внешней аппроксимации для множества достижимости типа шах min
X-{t,U,X°)= (x{t0,t)X°- Jl X(s,t)(-Q(s))ds^j + Jl X(s,t)P(s)ds.
Данное множество можно представить в виде геометрической разности и суммы трех множеств X~{t, t0,X°) = (Ji—J2) + Jz, где
Ji = X(t0, t)X°, J2= f X(s,t)(-Q(s))ds, J3= [‘ X(s,t)P(s)ds.
«/to J to
Вначале построим внешнюю аппроксимацию для геометрической разности (J1—J2). Данная аппроксимация может быть получена как следствие теоремы 2.1, для задачи,