Условия существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа

• Автор: Ивличев, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление
Введение.
Глава I. Условия существования периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений, матрица системы линейного приближения которых имеет нулевые собственные числа.
§1. Условия существования периодических решений для систем с нелинейностью, являющейся суммой форм.

§2. Достаточные условия существования ненулевых периодических решений.

§3. Существование периодических решений в одном специальном случае.

Глава II. Условия существования и расположение периодических решений автономных систем без линейной части.
§1. Условия существования периодического решения для автономных систем без линейной части.

§2. Оценка положения периодического решения.

Глава III. Достаточные условия существования со-периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений
§1. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с нулевой матрицей системы линейного приближения.
§2. Исследование конкретных систем
дифференциальных уравнений.
Заключение.
Литература.

Введение
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы систем линейных приближений которых имеют нулевые собственные числа. Предполагается, что правые части систем являются суммами форм относительно координат векторов решения и параметра. Все исследуемые системы имеют тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности нулевого решения при малом значении возмущающего параметра.
Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 25, 40, 51, 52, 57, 63, 66, 68, 72, 73, 80-83]. Хотя по данной тематике существует большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, так как именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. Наиболее трудны для исследования нелинейные системы, матрицы линейного приближения которых имеют нулевые собственные числа. Таким образом, одна из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений - задача поиска
условия существования ненулевых периодических решений - является в данном случае весьма актуальной.
Цель работы. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений
в которых хеЯ" - вектор, характеризующий положение точки в пространстве, А е К"' - параметр внешнего воздействия, А -постоянная их и-матрица, имеющие нулевые собственные числа, и-мерные вектор-функции /(х,А) и /(г, х, Я) непрерывны по всем своим аргументам, и являются суммами форм по координатам векторов х и Л, /(г,х,Л) - периодическая функция с периодом оз> 0. Вектор * = 0 является решением систем (0.1), (0.2), (0.3) при любом значении А е Я".
Цель работы состоит в поиске достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем (0.1), (0.2),
Методика исследования. Для получения достаточных условий существования со -периодических решений используется критерий периодичности х(й),а,Л)=а. Посредством представления решения через начальные данные этот критерий сводится к условию разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе, находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное условие-параметр, определяющая периодическое решение систем дифференциальных уравнений (0.1), (0.2), (0.3). Дока-
х = Ах+/(х, А), х = /(х,Л),
А = /(*,*, А),
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(0.3).

Щ будет решением системы (1.21), а, следовательно, и решением
системы (1.20). Теорема доказана
Следствие 1.4. Пусть вектор *| = l), и число со* таковы,
что Л/,(со *)еа* = 0, С,(й>*,е„ *)=0, причем еа *| = 1, и rangl <п. Если
вектору* *| = l) удовлетворяет условию (1.19) и rangl' = п, то
система (1.1) имеет по крайней мере одно ненулевое периодическое решение.
Доказательство. Для вектора е( * выполнено условие теоремы
1.4, следовательно, система (1.20) будет иметь решение. Из дока-

зательства теоремы 1.4 следует, что число rj можно выбрать произвольно малым, в том числе и меньшим единицы. По построению системы (1.20) любое ее решение определяет периодическое решение системы (1.1), которое будет ненулевым при условии, что rj < 1 и еа *1 = 1. Требуемое утверждение доказано.
Если rangl1 <п, то можно продолжить процесс получения достаточных условий способом, аналогичным описанному выше. При этом на каждом этапе будем получать вектор = е(1., - е(1_, *,
такой, что ^ = IJ-'e(l_,* = 0, С1 *)=0, где смысл матрицы 7-м и вектор-формы
С1 аналогичен смыслу матрицы 7 и вектор-формы С'. На /-ом этапе для определения достаточных условий существования периодических решений будем иметь систему
+o|fw|)+o(cr'-2)+