Обратные задачи вариационного исчисления и уравнения с вариационными производными

• Автор: Задорожний, Валерий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Вариационное дифференцирование и вариационное
интегрирование
§1. Вариационная производная
§2. Вариационный интеграл
§3, Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в
частных производных с тремя неизвестными переменными . . ... . . . .
§4. Вычисление функционала в обратной задаче
вариационного исчисления. . . . . . .
§5. Примеры
Глава II. Вполне интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка в вариационных производных.. . . .
§1. Вполне интегрируемые дифференциальные уравнения..
§2. Вполне интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка в вариационных производных.. .
Глава III. Дифференциальное уравнение в банаховом
пространстве со случайными коэффициентами. . . . .
§1. Дифференциальное уравнение е вариационной
производной
§2. Стохастическое дифференциальное уравнение.. .

Введение
Понятие вариационной (функциональной) производной восходит П.Леви [321 и В.Вольтерра [6]. В это же время были рассмотрены и некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в вариационных производных и способы их решения. Многочисленные математические модели с вариационными производными можно найти в монографиях: H.H.Боголюбов и Д.В.Ширков [31, А.С.Монин и А.М.Яглом [35,361, В.И.Кляцкин [271, П.Олвер [381, В.И.Татарский [461, В.И.Тихонов [481.
Некоторые вопросы техники вариационного дифференцирования и теории дифференциальных уравнений в вариационных производных изложены, например, в работах: В.И.Авербух,
О.Г.Смолянов [II, H.H.Боголюбов, Д.В.Ширков [31, М.И.Випгак [51, В.Вольтерра [61, И.В.Гайшун [101, И.М.Гельфанд, А.М.Яглом
[121, Ю.Л.Далецкий [13,141, А.Н.Деменин, В.С.Королюк [171,
М.Д.Иосипчук [24,251, М.Д.Иосипчук, М.С.Сявавко [261, В.И.Кляцкин [271, И.М.Ковальчик [28,291, П.Леви [321,
Н.П.Мельничак [341, А.С.Монин, А.М.Яглом [35-361, Е.А.Новиков [371, М.С.Сявавко, Н.П.Мельничак [451, В.И.Татарский [46,471, М.Н.Феллер [501, С.В.Фомин [521, А.Н.Шерстнев [561.
Диссертация посвящена изучению дифференциальных уравнений, содержащих вариационные производные и их приложению к линейным дифференциальным уравнениям со случайными коэффициентами.
В первой главе развивается техника вариационного дифференцирования и вариационного интегрирования для функционалов, зависящих от функций конечного числа переменных.
Первый параграф посвящен основным определениям и
доказательству теорем о дифференцировании сложного функционала.
Во втором параграфе вводится операция вариационного интегрирования, являющаяся обратной к операции вариационного дифференцирования. Если вариационный интеграл существует, то он является потенциалом для соответствующего вариационной производной функционала. Вопросы существования и вычисления потенциала изложены, например, в работах: [4,7 , 8 , 42 , 431. Дается обоснование метода интегрирования по частям (теорема 2.3) и методов замены переменной (теоремы 2.4, 2.5). Отметим, что задача отыскания вариационного интеграла эквивалентна задаче о решении простейшего дифференциального уравнения в вариационных производных
Третий параграф посвящен нахождению необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных с тремя независимыми переменными.
Под обратной задачей вариационного исчисления для данного дифференциального уравнения
<р(х,у(х),у(х) ,у"(х),... ,у(п)(х)) = 0 (1)
понимают задачу нахождения функционала 4}(у) для которого это уравнение является уравнением Эйлера. В терминах вариационных производных эта задача означает решение простейшего уравнения в вариационных производных
2 9ихуиуг 2 9ихгиуу * 2 9ихуигг
9их^гг 2 9ихгигх Поступим также с равенством (4), получим
9ихуихх 2 9ихуиху <Риууихх
2 9иугихх 2 9ихуихг °* 9иууиху 2 ^ху^у
2 9иугиху 2 9ихуиуг 9иууихг 9иУУНУУ
2 9иугиуу °* 9иууигг
9иугигг~°’ ~ 2 %/ц22 " 2 %Аг = °‘
Проделаем то же с равенством (5|, получим
-л _ * _ п
9ихгихх ’ 2 9иугихх 2 9ихгиху
2 9ихгихг 9иггихх 2 9иэяРуу 2 9иугиху
9иггиху 2 9их2руг 2 9%гихг ^^г^УУ