Задача о фазовых переходах со специальными ограничениями

• Автор: Михайлов, Виктор Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 79 с.

Глава 1.

Постановка задачи.

1.1. Введение.

Диссертация посвящена изучению математических вопросов равновесия многофазовой упругой среды. Многофазовые среды отличаются от однофазовых тем, что под влиянием внешних сил или внутренних напряжений могут скачкообразно менять свои свойства. Каждому состоянию будет соответствовать своя плотность энергии деформации. Мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда таких состояний два. Таким образом, мы будем изучать двухфазовую среду, индексируя каждую из фаз символом + или —. В задаче о равновесии двухфазовой упругой среды неизвестным является не только поле смещений, но и местоположение каждой из фаз, задаваемое при помощи характеристической функции. Таким образом, функционал энергии деформации всей среды будет равен сумме интегралов по множествам, в которых локализованы фазы от плотностей энергии деформации каждой из фаз. Основная трудность, с которой приходится иметь дело при изучении такого рода функционала это то, что в общем случае, (без специальных ограничений на плотности) он может не быть слабо полунепрерывным снизу, ж, следовательно, для него могут не существовать состояния равновесия. Для преодоления этой трудности мы будем пользоваться регуляризацией функционала энергии среды при помощи поверхностной энергии границы раздела фаз. Физическая мотивация такого подхода описана в [1]. Возможны другие способы регуляризации функционала энергии. В данной работе исследуется также регуляризация функционала энергии деформации при помощи интеграла от старших производ-

ных, такой метод регуляризации использовался в [2], [3]. Интеграл от старших производных служит штрафом на образование границы раздела фаз. Возможен подход, при котором плотность заменяется на ее слабо полунеприрывную снизу регуляризацию, при этом объектом исследования являются минимизирующие последовательности, см. [4]. В [5], [6] используется расширение функционала при которм в качестве предельных точек минимизирующей последовательности можно рассматривать меры Юнга.
Двухфазовая задача, регуляризованная с помощью площади поверхности границы раздела фаз изучалась в [7]. Целью предлагаемой диссертации является изучение этой же регуляризации при наборе ограничений на поле смещений. С математической точки зрения это приводит к тому, что местоположение фаз и поле смещений перестают быть независимыми аргументами функционала энергии. Примером такого ограничения являются ограничения, возникающие в задаче об образовании абсолютно жесткой фазы [7]. Работа посвящена изучению класса новых ограничений, имеющих механический смысл.

1.2. Постановка задач.

1. Задача об образовании несжимаемой фазы.

Пусть 0 С К — ограниченная область с Липшицевой границей, вектор-функция и(л) = (и1 (ж),.. ,,ит(х)) задана на П, й — квадратная матрица ее первых производных. Механически это соответствует ситуации, когда упругая среда в неде-формированном состоянии занимает область П, а после деформации характеризуется полем смещений — вектор-функцией и. Двухфазовая среда в отличие от однофазовой может в произвольной точке дискретно менять своё состояние. Каждое из этих состояний имеет свои физические свойства, и ему соответствует своя плотность энергии деформации Р±(М,и,х). Здесь М € и € М.т,
х € П С Кт. Поэтому двухфазовая среда кроме поля смещений и(х) характеризуется местоположением каждой из фаз-— дизьюнктными множествами где П+ I) П_ = П.
Функционал энергии деформации для двухфазовой среды имеет вид
/[и,П+, П_] = J Ц+ (й(х),и(х), х) Лх + J Р~ (й(х),и(х),х) dx(715|, (1.1)
п+ п_

где 5 = д(1+дй = д0.-дп, |5'| — площадь 5, а а > 0— коэффициент поверхностного натяжения.
Более того, мы предположим, что граница области д£1 находится в силовом поле, плотность потенциала которого задается функцией /(«, х), и € Кт, х € дП. Таким образом, функционал энергии двухфазовой среды примет вид
Для описания допустимых полей смещений фиксируем число р £ (1,+оо) и определим функции Д(<), ^ 0, а(х), х £ П, а0(х), х £ 5П по правилу:
при т^р /?(2) = V, /?о(0 =
г £ [1,тр/(т — р)), з £ [1, (лг — 1)р/т — р) при т > р,
г, в £ [1,о°) при т = р,
при т < р Д(4) ^ 0, /?о(0 ^ 0 — непрерывные
монотонно растущие функции,
О ^ а(х) £ 2ц (П), 0 ^ <т0(х) е Ь(д£1).
В дальнейшем будем предполагать, что функции Е±{М, и,х), /(и,х) измеримы по совокупности аргументов и удовлетворяют неравенствам
|Т±(М,и,х)| ^С[|М|г, + Д(|п|)] + о:(х), |/(ц,х)| < СДо(|и|) + ао(х). (1.3)
Тогда функционал (1.2) корректно задан на функциях и £ Ур(П, К.).
Для описания допустимых множеств нам потребуется пространство функций ограниченной вариации ВУ(П) (см. [8]). Будем говорить, что функция / € Т1 (П) имеет ограниченную вариацию, если
Борелевское множество Е С П называется множеством Каччопполи, если его характеристическая функция £ БУ(0.). Величина Б\ называется периметром множества Е. Легко видеть, что понятие периметра является обобщением понятия площади для дЕ Л П на негладкий случай. Про пространство ВУ(П) известно, что оно является Банаховым относительно введенной в нем нормы ||/||вг(П) = ||/||ь‘(п) + /1-0/1, а так же оно копмактно вкладывается в V (П). (Эти свойства
(1.2)
|2)/| = /сйу /г ёх < со.

+ JШ - X2)(FMij(i2 — U2g + q2)ij + Fu,(s2 + q2)' + F~g'

+F~ div#)} dx+ f {fUi (s2 -f q2) + fx,9% + /(div p - (<771, n))} dS an
+^W [ + №„
) + I«?-..,IP div d) dx = 0. (2.30)
(3) для всех функций Sk, g из пункта с) предыдущего параграфа выполнены равенства (2.29), (2.30) в которых отсутствуют слагаемые, содержащие /.
В приведенных равенствах F± = F±(ûk,ûk,x), f = /(uj.,x) и qk = i*s[0,0]<7.
Доказательство. Докажем данное утверждение в случае областей вида с/), е), /), в остальных случаях доказательство вполне аналогично. Проведем доказательство для функционала 1. Пусть х(у) - отображение, удовлетворяющее (2.13), согласно (2.15), отображение, обратное к нему задается у(х) = х + д{х) + R[g](x). Зададим функции и(у), (у) равенствами
и(у) = û{x(y)) + r/(x(y)), f}(x) = si(x) + fïfsb^far),
х(у) = хЫу))-
Свойства 3j, fi[si,fl] описаны в леммах 2.3.2 - 2.3.4. Заметим, что в этом случае пара {и(у), х(у)} G Л). Выпишем значение функционала (2.5) на этой паре.
Л К х] = Л x(î/)*"4«(y), «(у), у) + (1 - x(y))F~(û(y),u(y), у) ] dy «
+ I Д“(у)> у) dSy + af Dx. an n
Производя в последнем интеграле замену переменных, пользуясь (2.25) и равенствами
й(у) = û{x)ÿ~l(x) + fi(x)ÿ-1{x),
dSv{y(x)) = (ÿ-1(x)n(y(x)),n(x))dety(x)dSx(x),
получим:
7i[u,x] = /[x(^)^+(“(^)î/_I(^) + ч(х)у~г(х)Мх) + v(x),x)+

+(1 - x[x))F~{û{x)ÿ~1(x) + i)(x)ÿ_1(x), û(x) + J?(x), x) ] dy+ (2.31)
+ f f(Lu(x),x)dSx + a Jÿ—l[x)n(x)àetÿ{x)dS. an n