Обратные задачи монодромии с дополнительными характеристиками особенностей

• Автор: Вьюгин, Илья Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Векторные расслоения со связностью и дифференциальные уравнения

1.1 Аналитические линейные системы дифференциальных уравнений

1.1.1 Монодромия системы и особые точки

1.2 Локальная теория

1.2.1 Локальная монодромия и нормирования

1.2.2 Вид фундаментальной матрицы в окрестности регулярной особой точки

1.3 Векторные расслоения со связностью

1.3.1 Основные понятия и определения

1.3.2 Конструкция семейства мероморфных связностей

1.3.3 Степень и тип расщепления
1.4 Стабильные расслоения и проблема Римана-
Г ильберта
1.4.1 Определения
1.4.2 Подготовительные факты к главам 2 и
2 Разложимость фуксовых систем и их монодро-мии

Оглавление
2.1 Фуксовы системы с разложимой монодромией
2.2 Неразложимая система с разложимой монодромией
2.3 Контрпримеры к проблеме Римана-Гильберта
3 Эффективная проверка существования стабильной пары
3.1 Существование стабильной пары с ограниченными нормированиями
3.2 Существование полустабильной пары с ограниченными нормированиями
3.3 Условия существования стабильных пар в терминах представлений
3.3.1 Существование специальных полустабиль-
ных пар как достаточное условие положительной разрешимости проблемы Р-Г
4 Оценки порядков полюсов в обратных задачах
4.1 Регулярные системы с ограниченными порядками полюсов
4.2 Приведение линейной системы к полиномиальному виду
Литература

Введение
Актуальность темы. В работе изучается цикл задач аналитической теории линейных дифференциальных уравнений, тесно связанных с классической проблемой Римана-Гильберта и ее модификациями.
Основы аналитической теории линейных дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами были заложены в середине XIX столетия в работах Б. Римана и JI. Фукса. Б. Риман исследовал скалярные уравнения, уделив особое внимание классу скалярных уравнений второго порядка с тремя особыми точками (полюсами коэффициентов), обладающих следующим свойством: решения в этих точках имеют не более, чем степенной рост.1 Такие точки называются регулярными, особыми точками (поскольку решения, вообще говоря, многозначные функции, то мы говорим о росте при стремлении аргумента внутри некоторого сектора). Л. Фукс исследовал скалярные уравнения произвольного порядка.2 Одно из наиболее известных его достижений состоит в том, что он полностью описал класс регулярных уравнений, то есть уравнений, все особые точки которых регулярны.
Юм. Риман Б. Сочинения. Гостехтеоретиздат, 1948.
2См. Fuchs L. Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten // Journal fur Math. 1866. V. 66. P. 121-160., 1868. V. 68. P. 354-385.

Глава 1. Векторные расслоения и дифференциальные уравнения
Индексами Л и S' будем обозначать то, что расслоение FA,S, связность VA’5', или форма ujf'S построены по этим Л, S.
1.3.3 Степень и тип расщепления
Для голоморфных расслоений на сфере Римана имеет место следующая теорема.
Теорема 1.3. (Биркгоф, Гротендик) Любое голоморфное векторное расслоение F па сфере Римана эквивалентно прямой сумме одномерных расслоений
F = 0{к) 0 ... ф 0{кр), (1.13)
где числа Д целые, к > ... > кр и расслоение О (к) задается следующим координатным описанием: О (к) = (С, С {0},#Ооо = zk).
Набор чисел (ki
К = diag(fci
Отметим, что, аналогично системам собственные значения Pi = -М + Pi матрицы Аг + Е{ называются показателями связности VA,S в точке z = а*, задаваемой формой
Из вида (1.12) формы связности w* следует, что показатели в фуксовой точке z = а{ — это собственные значения матрицы-вычета iesai(xfl’Sl в этой точке.
Как уже было отмечено во введении, логарифмическая связность в тривиальном расслоении задает фуксову систему (1.4). В голоморфном же расслоении FA,S с типом расщепления