Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей

• Автор: Юлмухаметова, Юлия Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Постановка задачи и основные уравнения
1.1 Об инвариантных решениях с линейным полем скоростей
1.2 Общая постановка задачи, уравнения совместности: угловая скорость
и вспомогательная матрица
1.3 Решения УГД с линейным полем скоростей в эйлеровых и лаграпжевых
переменных и их связь
1.4 Подмодель с плотностью, зависящей только от времени
2 Подмодели с нулевой угловой скоростью
2.1 Дифференциальные уравнения подмодели и классифицирующее соотношение
2.2 Классификация уравнений состояния. Три подмодели
2.3 Уравнения подмоделей в лагранжевых переменных
3 Подмодели с нулевой вспомогательной матрицей
3.1 Дифференциальные уравнения подмоделей. Общий вид функции плотности
3.2 Нахождение уравнений состояния. Две подмодели
3.3 Новые интегралы
4 Вырожденная вспомогательная матрица и ненулевая угловая скорость
4.1 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно растяжения. Уравнение для угловой скорости
4.2 Уравнение для вспомогательной матрицы и уравнение состояния
4.3 Уравнение для определения плотности инвариантно относительно переноса
4.4 Уравнения подмодели с плотностью экспоненциального типа
4.5 Уравнения подмодели с плотностью дробного типа
4.6 Уравнения подмодели с плотностью дробно-линейного типа

5 Примеры поведения частиц газа для некоторых подмоделей
5.1 Разлет частиц газа из точечного источника
5.2 Охлопывание шара в иголку или диск
5.3 Выпрямляющийся разлет газа из вихря
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Многие явления окружающего нас мира можно описать математической моделью, состоящей из набора дифференциальных уравнений. Математическая модель движения сжимаемой жидкости - уравнения газовой динамики. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению решений уравнений газовой динамики в виде линейного поля скоростей. Объектами исследования газовой динамики являются газ, при обычных условиях, жидкие тела и твердые тела, находящиеся под воздействием больших температур и давлений. Поэтому решение в виде линейного поля скоростей является фундаментальным решением для любых уравнений механики сплошной среды: при этом постоянная вязкость и постоянная теплопроводность не влияют на такие движения.
Движения сплошной среды с линейным полем скоростей изучали G.L. Dirichlet [1] и Б. Риман [2]. В своих работах они рассматривали движения с однородной деформацией (линейное поле скоростей) несжимаемой жидкости. При этом предполагалось, что жидкость движется в силовом поле, обусловленном взаимным притяжением частиц по закону всемирного тяготения Ньютона. В статье JI.B. Овсянникова [3] впервые было показано, что для политропного газа система уравнений газодинамики сводится к системе девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдено несколько первых интегралов такой системы. Развитие математической теории этих уравнений получил J.F. Dyson [4] при изучении динамики вращающегося газового облака. Им были найдены другие первые интегралы системы, а также выяснено за какие физические законы сохранения они отвечают. Найден интеграл энергии системы при условии, что внутренняя энергия зависит только от времени. Доказано утверждение (лемма Дайсона) о необходимости и достаточности равенства нулю первых интегралов системы для того, чтобы существовали такие системы эйлеровых и лагранжевых координат, в которых матрица перехода от эйлеровых к лагранжевым переменным диагональна. В работах В.К. Андреева [5], [14], [22] изучалась устойчивость неустановившегося движения идеальной несжимаемой жидкости

функции а2(р,р) в (1.4.4) коэффициенты при одинаковых степенях х приравняем нулю. Получим подмодель движения газа с линейным полем скоростей в случае, когда плотность зависит только от времени
ПОДМОДЕЛЬ
Б’ + 2 Б А = (1 - а~1а,р)БА, А' + А2 = Б, г/+ Ату + Бщ = (1 — а~1а'р)уЬтА, и0 + Ащ — V, (1.4.6)
Ро - РЩ V = -р(а~1ар0 - /3) + Р')ЪсА,
Два дифференциальных матричных уравнения служат для определения матриц Б, А. Два векторных уравнения для определения векторов щ и V. Последнее скалярное уравнение для определения функции ро-
Итак, получена подмодель движения газа с линейным полем скоростей в случае, когда плотность зависит только от времени. Она состоит из уравнений (1.4.6), уравнение состояния задается формулой (1.4.5), плотность задается функцией (1.4.1), функция давление задается формулой (1.4.3). ПОДМОДЕЛЬ 1 вполне определена (количество низвестных функций совпадает с количеством уравнений).
В уравнения системы (1.4.6) входит выражение — / ЬгАсИ. Значит, уравнения подмодели - интегродифференциальные. Для случая
а = рД /3 = О,
где 7 - произвольная постоянная, из (1.4.5) получим уравнение состояния
р = £(5)рф
которое есть уравнение состояния для политропного газа. В этом случае система (1.4.6) есть система дифференциальных уравнений
5' + 2БА = (1 - 7)5ИД Л' + Л2 = 3, у1 + Ату + Бщ = (1 — 7)йгД + Ащ = V, (1-4-7)
Ро - ри0 V = —7Ро1гЛ.
Плотность задается формулой (1.4.1), давление формулой (1.4.3). Для данной подмодели в Главе 5 будет найдено частное решение и построены мировые линии движения частиц газа.