Задачи выживания для систем с последействием

• Автор: Баранов, Виктор Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Основная теорема о выживании

§ 1. Определение и основные свойства касательного конуса

§2. Постановка задачи выживания

§ 3. Основная теорема

Глава 2. Задача выживания для системы уравнений с последействием

§4. Задача выживания для уравнений с последействием

§ 5. Дифференциальное уравнение с последействием и одним ограничением

§ 6. Дифференциальное уравнение с последействием и конечным числом ограничений

§ 7. Смешанные системы уравнений

Глава 3. Задача выживания для дифференциальных включений
§ 8. Задача выживания для включений
§ 9. Задача выживания для включений с последействием
Список литературы

Обозначения
Rn — стандартное евклидово пространство размерности п с нормой | • |; (•,■)— скалярное произведение в Е";
(X, || • ||х) — банахово пространство;
Вх(х, г) и Вх[х, г] — соответственно открытый и замкнутый шары радиуса г с центром В точке X]
сIх М — замыкание множества М в пространстве X] convM — выпуклая оболочка множества МсХ;
рх{х,М)— расстояние от элемента х G X до множества М С X, определяемое равенством рх(х,М) = inf ||х — у||*;

Вх[М, е] — е -окрестность множества М С X, определяемая неравенством Вх[М,е] = {ж Е X : рх(х,М) ^ е};
АС([а, Ь],Е”) — пространство абсолютно непрерывных функций x(t) со значениями в Еп;
С([а, 6],Е")— пространство непрерывных функций х : [a, b] -> Еп;
Li([a, b],Е”) — пространство суммируемых функций х : [а, Ь] —> R"; comp X — совокупность непустых выпуклых компактных подмножеств пространства
£(3£,2))— пространство линейных ныпрерывных операторов из X в 2); t —> Xt S X, t G [a, Ь] — отображение отрезка [a, 6] в пространство X.

Введение
Задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.-P.) для управляемых динамических систем включают в себя большое число вполне конкретных
приложений, интерес к которым не ослабевает с конца 50-х годов прошло-
го столетия. К числу таких прикладных задач относятся задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии, некоторые задачи математической экономики и многое другое.
Вопрос о существовании решения æ(t, жо) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
х = /(ж) (0.1)
с начальным условием
х(0) = жо (0.2)
в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве М сК" (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [41]. Теорема Нагумо состоит в следующем. Пусть задано множество М. Оказывается, что для каждой точки жо £ М существует выживающее решение ж(t, жо) задачи (0.1), (0.2) в том и только том случае, если во всех точках ж, принадлежащих границе множества М, выполняется включение
f(x) е Тхм, х £ дм,
где ТХМ— конус Булигана к множеству М в точке ж (определение конуса Булигана дано ниже).
Близкими к вопросам выживаемости являются задачи управления с фазовыми ограничениями. Например, требуется среди всех траекторий упра-
§ 2. Постановка задачи выживания
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
х = f(x), igf1 (2-1)
и некоторое непустое подмножество М С К". Напомним определение выживаемости.
Определение 2.1 (см. [36, с. 9]). Пусть xq Е М. Решение x(t, хо) системы (2.1) с начальным условием ж(0) = хо выживает в множестве М, если существует а > 0 такое, что x(t) Е М для всех t Е [0, а].
Определение 2.2 (см. [36, с. 9]). Множество М обладает свойством выживаемости для системы (2.1), если для всякого xq Е М найдется решение x(t,xо) системы (2.1), выживающее в М.
Следующее утверждение известно как теорема Нагумо.
Теорема 2.1 (см. [36, с. И]). Замкнутое множество Met" обладает свойством выживаемости для системы (2.1) тогда и только тогда, когда для всех х Е дМ выполнено включение
f{x) Е ТХМ
где ТХМ — конус Булигана к множеству М в точке х.
В теории дифференциальных включений х Е F(x) с фазовыми ограничениями известна теорема (см. [40]), дающая необходимое и достаточное условие существования выживающего решения дифференциального включения в множестве М. Оказывается, это условие похоже на условие в теореме Нагумо, а именно: дифференциальное включение имеет выживающее