Гладкость решений нелинейных дифференциальных уравнений и теоремы разделимости

• Автор: Биргебаев, Ахтай
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 100 c. : ил

ГЛАВА. I. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ЛИФФЕРЕНЦИАЛБНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА И ТЕОРЕМЫ РАЗДЕЛИМОСТИ

§ I. Обозначения, понятия и предварительные сведения

§ 2. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Я и некоторые

теоремы вложения

§ 3. О гладкости решения нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка

§ 4. Оценки производных решения

уравнения -у +

§ 5. О разделимости одного дифференциального оператора в Ьр

§ 6. Оценки производных решений

уравнения - 4- ^ (х)р - £

Глава II. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Гладкость решений нелинейного дифференциального
уравнения с матричным потенциалом
§ 2. Существование решения нелинейного стационарного
уравнения Щредингера
§ 3. Гладкость решений нелинейного стационарного
уравнения Щредингера
ЛИТЕРАТУРА

В настоящее время общая теория линейных операторов в наиболее важных направлениях в основном завершена. Однако, так правило, в рамках общей теории операторов невозможно получить обстоятельный ответ на ряд фундаментальных вопросов теории дифференциальных операторов без дополнительного исследования, определяемого спецификой предмета.
Такими вопросами, например являются вопросы о гладкости решений и их производных для дифференциальных уравнений.
В случае ограниченных областей и гладких коэффициентов (регулярный случай) эта тематика уже изучалась и при этом были разработаны методы исследования, которые доведены ныне до классического совершенства и подробно изложены в известных монографиях ( см. [1*2]| ).
Сингулярные дифференциальные операторы исследованы менее подробно. По видимому, первыми систематический этот случай изучали В.Н.Эверитт и М.Гирц [з - б] , им, частности принадлежит и постановка фундаментальной проблемы разделимости дифференциального оператора.35^
В.Н.Эверитт и М.Гирц особенно подробно изучали в этом направлении оператор Штурма-Лиувилля, который, как известно, во многих случаях является ’’пробным камнем’’ для предлагаемых методов исследования. Их исследования продолжили Ф.В.Аткинсон
*)Напомним (на примере оператора Штурма-Лиувилля), что уравнение называется разделимым в Ьр °<>)
± <£ р < оо , если из того, что 1~!р (- ***> следует, ЧТО и1' ё. 1_]р .

( ЛЦСа^сНг £ V. ) [7,8] , У.Д.Эванса и А.Цеттл ( £)/61П$ ||
К.Х.Бойматов [Ю - 14| , М.Отелбаев [гб - 19] , а также
ученики М.Г.Гасымова и Ф.Г.Максудова [21,22] , О.А.Баутыкова
[23,24]
Как правило, зарубежные математики применяли до нынешнего времени метод Эверитта и Гирца; он состоит в использовании классических приемов для изучения асимптотического поведения функции Грина рассматриваемого оператора на бесконечности.
С момента появления работ К.Х.Бойматова [ю] и М.Отелбае-ва [15] в проблеме разделимости обозначился значительный шаг вперед. Они предложили для решения этих вопросов некоторую модификацию метода Титчмарша, которая ранее применялась для решения других задач в работах М.Г.Гасымова [2б] , А.Г.Костючен-ко [2б] , Б.М.Левитана [27]
Позже М.Отелбаев предложил для решения проблемы о гладкости решения дифференциальных уравнений специальный метод локального представления резольвенты, который он назвал вариационным.
К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам удалось получить при этом ряд важных принципиальных результатов, которые в частности обобщают основные достижения зарубежных авторов.
Для неограниченных областей существованием и гладкостью решений нелинейных дифференциальных уравнений ( с сингулярном потенциалом ) на примере уравнений Штурма-Лиувилля занимались М.Б.Муратбеков и М.Отелбаев [28] . В дальнейшем эта задача решалась также в работах Т.Т.Амановой [29] , М.Б.Муратбекова

МіШ,і)--1)(фЖ,(х,і,Л)’і'Р-х1 +A(x, U) *"( і -xi, Jll} (x,ij) = Jl, (x.ljj-ifi-x),
(XXX) [JIL ІХ U)v't (1-Х +ty* (ХА)Ъ(Ч-Х)р($ wp (—уЩ~ I
где функция Ч (^) a СГ(Я) такая, что
^ при і

t{i) Г
(5.6)

при і > £ .
Определим операторы JUj(X) по формулам

і) = fМ/Шл) fm Jx (/- d,z,i,4).
(5.7)
ЛЕММА.
5.2. Если ^(сс) & С (Я) t то М-зШ^6 &(L)
и справедливо равенство
{LHE)Ms[x)h{ +АШ+АМ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения оператора JiJX) шле ем
-- j- J m‘($(x) exp x
X?(t-z)f(z)d2+ J-Jp[x) k(px)xXj/lcxp^~=;J ? ft-£)(it)dx Отсюда и из равенства (5.6) следует, что М3(Х)£ є С (Я)