Обратные функциональные неравенства и их приложения

• Автор: Павленко, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 119 с.

Содержание
Введение. Общая характеристика работы_
Глава 1. Обратные неравенства в пространствах с конусом.
§ 1. Линейные операторы в пространствах с конусом
§2. Обратные неравенства и уравнение Гаммерштейна
§3. Положительные решения уравнения Гаммерштейна
Глава 2. Обратные неравенства для функций одной переменной и их приложения к нелинейным краевым задачам.
§4. Пространства функций одной переменной и линейные
дифференциальные операторы
§5. Обратные неравенства для функций одной переменной
§6. Приложения обратных неравенств к одномерным
краевым задачам
§7. Примеры и замечания, обобщения и модификации
Глава 3. Обратные неравенства для функций многих переменных и их приложения к нелинейным эллиптическим краевым задачам.
§8. Пространства функций многих переменных и
линейные эллиптические операторы
§9. Обратные неравенства для функций многих
переменных
§ 10. Приложения обратных неравенств к нелинейным
эллиптическим краевым задачам
Заключение
Литература.

Введение. Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Диссертация посвящена обратным функциональным неравенствам и их приложениям к граничным задачам. Теория прямых и обратных функциональных неравенств является одной из интенсивно развивающихся областей математического анализа. Типичным примером прямых неравенств могут служить теоремы вложения, существенную часть которых составляют оценки норм функций через нормы производных этих функций. Первые исследования в данном направлении проводились еще Пуанкаре и Гильбертом на рубеже 19 и 20 столетий. Эти исследования были связаны с вариационными методами математической физики. Как научное направление теория вложения оформилась в работах С. Л. Соболева; о дальнейшем развитии этой теории и плодотворности ее приложений можно судить по публикациям [1,4,9,11-
15.18.20.22.25.28.45.53.59.61.71.87.88.94.95].
Обратные функциональные неравенства дают оценки норм старших производных функций через нормы их младших производных. Такого рода оценки справедливы лишь для функций, удовлетворяющих дополнительным условиям. В качестве примера можно рассмотреть оценки С. Н. Бернштейна вида || х;С21| < <У (II х ; С II) решений дифференциального неравенства
|х"|<к(1 + |х'|2), (0.1)
а также принадлежащую ему же оценку
II х ; С1 II < п II х ; С II, (0.2)
верную для тригонометрических многочленов степени, не превосходящей числа п. Неравенство (0.1) связано с классическим Ь-условием Бернштейна, играющим первостепенную роль в теории нелинейных краевых задач. Обсуждение Т-условия и его многочисленных модификаций можно найти в [3,9,12,25,27-
35.44.54.56.57.62.65.67.68.70.81.95]. Оценка (0.2) играет важную роль в конструктивной теории функций [12]. Кроме того, обобщения этой оценки нашли важные приложения в теории вложения [11], [61]. Естественно возникает зада-

ча, связанная с обобщением и усилением линейных и нелинейных обратных неравенств.
Значительная часть диссертации посвящена обратным неравенствам для функций, принадлежащих конусам в пространствах Банаха. Наиболее тесно связаны с диссертацией теоремы М. А. Красносельского об операторах с монотонными минорантами и операторах, растягивающих конус, а также о различных специальных классах конусов и действующих в них линейных и нелинейных операторах.
Цели работы. Вывод, обобщение и усиление линейных и нелинейных обратных неравенств вида || и ; Е1 II < У( II и ; Е2 II), где Еь Е2 - банаховы пространства, Е] компактно вложено в Е2, ие Кс=Е|, V: 91+-АК+ -возрастающая непрерывная функция. Рассмотрение некоторых приложений полученных неравенств к нелинейным краевым задачам.
Методика исследования. В работе широко используется теория конусов, разработанная М.Г. Крейном в 30-х годах и нашедшая отражение в обзорной статье [51]. В дальнейшем теория конусов интенсивно развивалась в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина, их последователей и учеников [5-8, 16,40-50, 62-64,80-86,89-91,97-99]. Кроме того, используется теория вполне непрерывных векторных полей, которой было положено начало в 30-е годы Ж.Лере и Ю. Шаудером. Дальнейшее развитие понятие вращения получило в работах целого ряда авторов ([16,17,40-42,44,70,81,95,99] и приведенная там литература).
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Усилены и обобщены линейные и нелинейные обратные неравенства для скалярных и векторных функций одной переменной, с помощью которых устанавливается существование нетривиальных решений краевых задач с сильными нелинейностями. Полученные результаты были обобщены для случая банаховых пространств функций многих переменных. Следует отметить, что использование

В этих условиях справедлива
Лемма 4.7. Операторное уравнение Ас(и)=(о;£), отвечающее задаче Коши
А(и)=х>уС(и)=Ъ„ (4.10)
при выполнении условий, приведённых в этом пункте, имеет единственное в
классе Ет решение и=Ас 1 (и,£,) для любых оеЕ, с,е У/”.
□ Единственность решения задачи Коши вытекают из классических результатов, относящихся к линейным дифференциальным уравнениям с суммируемыми коэффициентами. Поэтому в доказательстве нуждается лишь существование соответствующего решения. Без ограничения общности можно считать, что £=0, ат (/) = 1.
Пусть Аф(со) есть решение задачи Коши
и{т)= со, С(и) = 0.
Очевидно, что К0 действует и непрерывен из пространства Е в про-

странство Ь , поэтому операторы
со -> аДАф(со))(г) (/ = -1)
вполне непрерывны (в силу компактности вложения Ет с Ет~1) из пространства Ев Е, что в свою очередь влечёт полную непрерывность линейного оператора А{К0 : Е —> Е.
Уравнение с вполне непрерывным оператором А1К0 со + А]К0((д) - и (411) разрешимо при любом и е Е. Это следует из того, что соответствующее однородное уравнение © + = 0 имеет лишь нулевое решение, что в свою
очередь следует из единственности решения однородной задачи Коши
А(и) = 0, С (и) = 0.