Нелокальные эллиптические задачи

• Автор: Ковалева, Ольга Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление
Введение стр.З
Глава I. Эллиптические задачи с носителями нелокальных членов внутри области
§1. Нелокальные эллиптические задачи с параметром
§2. Разрешимость общих эллиптических задач с нелокальными условиями
§3. Устойчивость индекса общих эллиптических задач
с нелокальными условиями
Глава П. Весовые пространства и модельные эллиптические задачи
§4. Некоторые свойства весовых пространств
§5. Эллиптические задачи на полуплоскости и в полупространстве стр.З
§6. Эллиптические уравнения в К", имеющие особенности на (п—2)—мерных многообразиях
Глава Ш. Разрешимость эллиптических задач с носителями нелокальных членов вблизи границы
§7. Локальные эллиптические задачи с особенностями
решений на (п — 2)—мерных многообразиях
§8. Априорная оценка решений нелокальных эллиптических задач
§9. Фредгольмова разрешимость нелокальных эллиптических задач и устойчивость индекса
§10. Эллиптические задачи на сдвигах границы
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1. В настоящей диссертации исследуется разрешимость нелокальных задач для эллиптического уравнения, в котором значения решения на границе рассматриваемой области Q выражаются через его значения во внутренних точках и других точках границы.
Одной из первых работ в этой области является доклад [58] T.Carleman, посвященный задаче о нахождении голоморфной в области QaC функции, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения искомой функции в точке t границы ЭQ со значениями в точке со(7), где <»(со(У)) = t, со(Э0 = dQ. Им было показано, что решение этой задачи сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. В дальнейшем сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (карлемановский сдвиг), рассматривались А.Б. Антоневичем [3], Ю.И. Карловичем [18] - [20] и др. В частности работы Ю.И. Карловича были посвящены сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом, отображающим ЭQ в область Q. На сдвиг со(/) им накладывались условия, позволяющие свести эту задачу к уравнению с карлемановским сдвигом. Основным методом исследования уравнений с карлемановским сдвигом было их сведение к системе уравнений без сдвига, что позволило доказать фредгольмовость рассматриваемых задач и вычислить их индекс.
Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными граничными условиями рассматривались в работах W.G.Bade [52], R.S.Freeman [59], R.Beals [53], F.Browder [56], G.Grubb [60]. В этих работах предполагалось, что нелокальные члены зависят от следов искомой функции и ее производных на границе ЭQ. F. Browder в статье [56] рассмотрел случай, когда нелокальные члены были связаны со значениями искомой функции во всей области Q. При этом предполагалось, что выполнено неравенство коэрцитивности и некоторое условие на сопряженный оператор.
Отправной точкой большинства исследований в рассматриваемой области послужила работа А.В. Бицадзе, A.A. Самарского [4]. В ней предлагалась принципиально новая постановка эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы. Требовалось найти решение и е C2(Q)f] C(Q ) задачи
A(x,D)u(x) = /о О)
(х е Q), (х'е Гх),
(0.1)
(0.2)
(х'е Г2).

Здесь A(x,D) -эллиптический дифференциальный оператор второго
порядка с достаточно гладкими коэффициентами; Q В работе [4] рассматривалась также задача о нахождении гармонической в Q = (0,2) х (0,1) функции и(х,у), удовлетворяющей нелокальным краевым условиям
и(х,0) = фДх), и(х, 1) = ф2(х) (0<х<2),
(0.3)
“(о, у) = Фз (у), «(1, у) = и(2, у) (0 < у < 1).
В дальнейших работах по этой тематике рассматривались как задачи с конкретными отображениями со (х), так и различные обобщения задачи (0.1), (0.2), в том числе и на уравнения высокого порядка с общими краевыми условиями и абстрактными нелокальными операторами. Для ряда интересных задач (в основном, для случая гармонических функций) были установлены условия разрешимости и подсчитан индекс (см. A.B. Бицадзе [6], К.Ю. Кишкис [21]—[23], Л.С. Дарбинян [13] и др.).
Довольно быстро было замечено, что наиболее простой является ситуация, когда образ границы лежит строго внутри рассматриваемой области: (ü(dQ)c:Q.B работах Я.А. Ройтберга, З.Г. Шефтеля [36], [37] рассматривались обобщения задачи (0.1), (0.2) на уравнения высокого порядка с общими краевыми условиями, содержащими преобразование <в(х). Разработанные в [36], [37] методы позволяют обобщить полученные результаты о разрешимости на случай конечного числа различных преобразований со(х). При этом лишь требуется, чтобы образы границы dQ, лежащие строго внутри области Q, не пересекались между собой. Обобщения полученных в [36], [37] результатов на случай, когда носители нелокальных членов представляют некоторое компактное множество, лежащее строго внутри области Q рассмотрены в работах A.J1. Скубачевского [40]—[43].
Н.В. Житарашу, С.Д. Эйдельман в работе [14] рассмотрели следующую по сложности задачу, нелокальные операторы которой удовлетворяли условию: (О(Г1)ПГ1 = 0. Более трудным в исследовании оказался случай, когда со(Г1)ПГ1=0 и О)(Г, )П (Г, Г, ) = 0. Результаты о фредгольмовой разрешимости данной нелокальной эллиптической задаче в гильбертовых пространствах получены A.JI. Скубачев-

т=-с° а г гр{“-1+|а|)
,х7?л
йбс <

<*з X 2рт(а~1+п/р) X Г <&' *
т=>о |а|
<4 X 2Рт(а~1+п1р)

пхДй

%тиР<к>
в0хЯп
(4.3)
где к1
2. Рассмотрим теперь случай, когда О = Яп. Введем функцию (ф)е С(-к,п) так, что <;(ф) = 1 при фе [-л/Ч,ге/'4]; с,(ф) = 0 при фё (-71/3,71/3). Представим функцию П в виде и = и + (1 - )и. В пункте 1 мы доказали, что неравенство (4.1) справедливо для функций
и и (1 — и. Следовательно, из леммы 4.1 и неравенства треугольника вытекает, что неравенство (4.1) выполняется для функции и.
3. Используя разбиение единицы, эквивалентность норм относительно невырожденной, гладкой замены переменных и рассмотренные случаи 1, 2 получим неравенство (4.1) для ограниченной области ().
Сформулируем и докажем лемму о продолжении для функций из весовых пространств.
Лемма 4.3. Пусть 0, (д{ — ограниченные области, удовлетворяющие условиям, приведенным в начале параграфа, такие, что О сО]. Пусть замкнутое множество, участвующее в определении
нормы совпадает с множеством Ж, введенном при определе-
нии нормы в Ур а ш
Тогда для любой функции и 6 У1ра(0) существует функция11 е е КМ) такая, что и(х) = и(х) при хе (д и