Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных

• Автор: Кучмент, Петр Абрамович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 305 c. : ил

С0ДЕР1АНИЕ

В В Е Д ГЛАВА I §

Глава II §

Глава III

Е Н И Е

. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД

1. Предварительные сведения, определения и обозначения

2. Описание образа и коядра фредгольмовского морфизма в пространствах сечений

3. Обобщенные неравенства Карлемана
4. Интерполяция периодических целых функций конечного порядка
5. Описание образа и коядра оператор-функции
в пространстве сечений с оценками
. ТЕОРИЯ ФЛОКЕ ДЛЯ ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ
1. Описание пространств и основных преобразований
2. Преобразования / и операторов
3. Решения Флоке, мультипликаторы, квазиимпульсы
4. Полнота решений Флоке. Разложение по решениям Флоке. Эллиптический случай
5. Полнота решений Флоке. Разложение по решениям Флоке. Гипоэллиптический случай
. ТЕОРИЯ ФЛОКЕ ДЛЯ ДРУГИХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ И ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
1. Эллиптические граничные задачи
2. Параболические граничные задачи

§ 3. Эволюционное уравнение в гильбертовом
пространстве
§ 4. Псевдодифференциальные уравнения
§ 5. Понижение условий на гладкость коэффициентов
§ 6. Уравнения с отклоняющимся аргументом
§ 7. Инвариантные дифференциальные уравнения на симметрическом пространстве неположительной кривизны
§ 8. Уравнение с коэффициентами, постоянными
по части переменных
Глава IV. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ УРАВНЕЙТЙ
§ I. Расположение мультипликаторов и убывающие решения
§2.0 разрешимости неоднородного уравнения
§ 3. Елоховские решения периодических уравнений
§ Ш Регулярность и дихотомия
ЛИТЕРАТУРА

Общеизвестна роль линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в современной математической физике. Приведем некоторые примеры возникновения такого рода уравнений. Стационарное уравнение Шредингера для электрона в бесконечном кристалле имеет вид
Распространение волн (электромагнитных или акустических)в периодическом цилиндрическом волноводе может быть описано приведенным волновым уравнением
осевой переменной волновода. На границе ставятся условия Дирихле или Неймана.
Для квантово-механической системы (атом»молекула) в поле монохроматической электромагнитной волны нестационарное уравнение Шредингера выглядит следующим образом:
Периодические уравнения встречаются также при исследовании устойчивости управления системой с распределенными параметрами при периодических возмущениях,в гидродинамической теории устойчивости и т.д.(см.по этому поводу,в частности,работы (14,19, 25,28,29,64,90,94,95,98,104,123] и многие другие). Такого роде уравнениям посвящены работы многих физиков (Ф* Блоха,
где функция
периодична.
где вО -частотный параметр, а функция С периодична? по
ди. + иос2и=о

С см, § I), т.е. *6> -числа -Зк. суммируемы со степенью
р •
Справедлива (фактически прямо следующая из указанных выше работ)
Лемма 1.3.1. Имеет место представление / (X)- Ъ(Х)А ДХ
где В Ск) ** целая оператор-функция в (СИ порядка р нормального типа, а л(Х) - целая функция в ([X порядка р нормального типа. (В действительности,тип минимален, однако это нам не понадобится).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Д[) У - ^ . Полагая
(Х(Й ^-Аз ^А^ ) п У*'До У * мы получаем уравс) г^-
НбНИб %(Х)Ц/ - ^ • Положим^^ . Если
= - -1 ^ и ) - *У»тмндеко и' ^ > о
положим Ф-—А БФ— » где / отличается от
V Ц|) у <7
единицу меньшей Кс^)-Й координатой. Векторы вводятся
для у'|^уи
Теперь уравнение [(Х)Х~ ^ мы можем записать в следующем виде:
% + £ А^Ч'Б = Если рассмотреть пространство наборов векторов , ,'и]лл ,
Т/( (Ч"
то в нем наше уравнение Д(Л)ф?= ^ в совокупности с уравнениями ^ С приводятся к виду

(г+ гА,<(
Здесь Р - единичный оператор, а - операторные матрицы
с элементами, принадлежащими идеалу . Отсюда следует, что
г— |
также лежат в