Метод усреднения в теории нелинейных параболических уравнений с приложениями к задачам гидродинамики

• Автор: Левенштам, Валерий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 374 с.

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена развитию математической теории метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [32, 2, з, 63] для квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами и задач гидродинамики жидкости в высокочастотных силовых полях.
Метод усреднения впервые стал применяться в небесной механике. Он встречается уже в работах Лагранжа [ИЗ], Лапласа [114], а затем - Гаусса [110] при исследовании эволюции планетных орбит под влиянием взаимного притяжения планет . В этих работах учитывается то обстоятельство, что правые части соответствующих систем дифференциальных уравнений (полученных из исходных задач с помощью метода Лагранжа вариации произвольных постоянных ) содержат быстроосциллирующие и медленноменяющиеся слагаемые и при этом последние определяют главную (плавную) часть решения, а быстроосциллирующие слагаемые приводят лишь к малым осцилляциям около этого плавного движения, поэтому их естественно отбрасывать, то есть усреднять систему.
Позднее метод усреднения переоткрыл Ван-дер-Поль [120], предложивший на интуитивном уровне изложения эффективный способ приближенного решения нелинейных задач теории колебаний с одной степенью свободы.
Первые работы по математическому обоснованию метода усреднения выполнены П. Фату [109] и JI. И. Мандельштамом и
Н. Д. Папалекси [62] для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

ф. = ef(X,t)j 0 < 8 « и (0.1)
рассматриваемых при t 6 [0,Т£~2], Т = const, с начальными условиями и периодическими по t вектор-функциями /. В монографии Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [з2] аналогичный результат установлен для уравнений вида (0.1) с квазипериоди-ческими по t правыми частями.
Здесь необходимо также отметить, что в развитии метода усреднения существенную роль сыграл весь цикл совместных исследований 30-х годов Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, где, в частности, предложен и разработан метод, позволяющий для широкого класса колебательных систем строить формальную асимптотику решений, главный член которой совпадает с решением, найденным методом Ван-дер-Поля (если он применим).
Классическая математическая теория метода усреднения для (векторных) уравнений вида (0.1), правые части которых обладают средними

F(x) = lim T~1 (0.2)
r->c° J
создана H. H. Боголюбовым [2]. Опишем некоторые проблемы этой теории, относящиеся к обоснованию метода усреднения и построению старших (часто говорят: "высших") приближений.
При этом нам удобно (с точки зрения дальнейшего изложения наших собственных результатов) уравнение (0.1.) записывать в эквивалентном виде
gf = f(X,tot). Ш » /. (0.3)
Наряду с возмущенным уравнением (о.З) будем рассматривать усредненное уравнение

%t = Fw- (0-4)
Обоснование метода усреднение для уравнения (0.3) заключается в решении следующих двух проблем:
1. Определение условий, при которых разрешимость усредненного уравнения (0.4) на участке t е [0,Т], Т = const > О влечет разрешимость уравнения (0.3) при СО >> / с тем же начальным условием (.£(0) - У(0) ) и на том же временной участке, и при этом указанные решения асимптотически близки.
2. Установление связи между различными свойствами решений усредненного уравнения (0.4) и возмущенного уравнения (0.3) на всей временной оси. В частности, определение условий, при которых из существования стационарного решения у уравнения (0.4) следует при со » / существование и единственность в некоторой окрестности у ограниченного (почти периодического, периодического ) на всей временной оси t решения уравнения (0.3), причем и у асимптотически близки и устойчивость (неустойчивость ) по Ляпунову у влечет устойчивость (неустойчивость).
Решение усредненного уравнения, о котором говорится в п. I или 2 называется нулевым (иногда, первым) приближением к соответствующему решению возмущенного уравнения.
Следующая проблема теории метода усреднения относится к построению старших приближений метода усреднения для уравнения (0.3) как в случае задачи на конечном временном промежутке, так и на всей временной оси.
3. Конструирование эффективного алгоритма построения старших приближений, то есть набора вектор-функций, с по-

дгаяф). А. Слеааж («я.-юг. МГУ), А. ы. Самстленко (мех.-мат. КГУ), И. Б-. Симоненко, (мех.-мат'. РГУ), м. №. Ханаевым (ВМК МГУ), Е. К. Юдовкчем (кзх.-мат. гг.У), на заседании Ростовского математического оЯШйша, на XIV школе ш теории операторов в функциональных пространствах (Новгород,
1.989), на УН, 'XIXI, X Всесоюзных школах-семинарах. "Нелинеа-гш задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, '991, 1992, 1994 г.г.), на II, IV, VI Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Сдаферодаль, 1992, 1994, 1996 г.г.), на Международной конференциях: "Нелинейные дифференциальные уравнения”
(Симферополь, '993; Киев, 1995), на Международной коаферен-ции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 95-летию со дня рождения Я, Г. Петровского (Москва, 19S6 г.), International aerospace congress (Moscow, 1994 ),
International conference "Asymptotics in mechanics" (Saint Fetersbourg, 1994), Conference on Applied and Industrial Mathematics (Sweden, Linköping, 1994), 14 TH Imasc World
Congress at Georgia Tech on Computational and Applied Mathematics (Atlanta, Georgia, U.S.A., 1994), International Symposium on nonlinear Theory and its Applications (Las Vegas, Nevada, U.S.A., 1995).
Диссертзция состоит из пяти глав. В пределах одной главы теоремы, леммыопределения, замечания и формулы имеют двойную индексацию. Например, (2.5) означает пятую да поряжу формулу второго параграфа.