Качественное исследование слабых решений m-гессиановских уравнений

• Автор: Филимоненкова, Надежда Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Инструментальная база

1.1. Обозначения и предварительные соглашения

1.2. Алгебраические свойства т-гессиановских функций

1.3. Принцип максимума Александрова

1.4. Геометрическое оснащение

2. Классическая разрешимость

2.1. Теорема существования

2.2. Построение барьерных функций

2.3. Оценка производной по нормали
2.4. Оценка смешанных производных
2.5. Оценка второй производной по нормали
3. Качественный анализ слабого решения
3.1. Существование, единственность и гладкость
3.2. Локальная оценка градиента
3.3. Локальная оценка постоянной Гельдера
3.4. Оценка постоянной Гельдера в замкнутой области
Указатель обозначений
Список литературы

Введение
Общая характеристика работы Актуальность темы.
В 80-е годы прошлого века в работах Н.М.Ивочкиной [3], Л.Каффарелли, Л.Ниренберга, Д.Спрука [10], Н.В.Крылова [7], Л.Эванса [13] были заложены основы современной теории полностью нелинейных уравнений второго порядка в частных производных: Р{иХх,их) — /. В таких уравнениях присутствует нелинейная
зависимость от первых и вторых производных решения, и, если при этом главная часть уравнения зависит только от вторых производных, они называются гессиановскими. В отличие от линейных эти уравнения не сохраняют тип (эллиптичность, параболичность, гиперболичность) на функциях из пространства С2. Поэтому вопрос о разрешимости гессиановских уравнений ставят на более узком множестве допустимых С2-гладких функций. Именно, в конусе положительной монотонности функции ТДУ, р) относительно матрицы 5. Основной чертой публикаций вышеназванных авторов является стремление охватить как можно более общий класс функций 771 в рассматриваемых уравнениях. Последнее приводит к большому набору дополнительных условий, которые отодвигают на второй план основную специфику этой теории и истинную новизну методов исследования. Имеет смысл конкретизировать исследование на одном из типичных представителей гессиановских уравнений для получения результатов, близких к предельным. Мы рассматриваем задачу Дирихле для т-гессиановского уравнения и при ее изучении сочетаем подходы разных авторов. Положим и 6 С2 (О,), С Яга, 1 ^ т < п. Уравнение вида
Ъттихх — / ,
где 1гтихх - это сумма главных миноров порядка т матрицы ихх, называется т-гессиановским. В частности, при т — 1 перед нами уравнение Пуассона, при т = п- уравнение Монжа - Ампера. Интерес к т-гессиановским уравнениям родился из попыток распространить теорию уравнений Монжа - Ампера на родственные классы.
В настоящее время актуальным является изучение слабых решений задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Мы понимаем под слабыми аппроксимативные решения, введенные Н.Трудингером[19] в 1997 году. Последние являются альтернативой вязкостным

решениям (см. например, [11], [12], [15], [16]). Однако вязкостный подход гарантирует единственность решения только при условии непрерывности /. Представляется важным ослабить требования на правую часть уравнения. Теория аппроксимативных решений позволяет рассматривать / из лебеговых и соболевскнх пространств. Изучение таких решений берет начало в упомянутой работе Н.Трудингера, где было доказано существование аппроксимативного решения т-гессиановского уравнения из пространства Са(й'), сё П, при условии / € Ьп(£1). Вопрос о поведении аппроксимативного решения в замкнутой области до сих пор оставался открытым - настоящая диссертация в значительной мере посвящена его исследованию.
Цель работы.
1. Представить полное доказательство существования классического решения первой краевой задачи для невырождающихся т-гессиановских уравнений методом непрерывности при минимальных требованиях на правую часть уравнения.
2. Построить теорию аппроксимативных решений задачи Дирихле для т-гессиановских уравнений, выделить зависимость качества аппроксимативного решения от регулярности правой части уравнения. В частности, доказать гельдеровость в замкнутой области аппроксимативного решения задачи Дирихле для тп-гессиановского уравнения с правой частью из Ьр,р ^ п.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются 'новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:
1. Доказана разрешимость в пространстве С1+а(&) задачи Дирихле для невырождающегося (/ > 0) т-гессиаиовского уравнения с правой частью из С1~2+а(й) и для области П со строго (т — 1)-выпуклой границей.
2. Проведен анализ глобального поведения аппроксимативного решения задачи Дирихле для т-гессиановского уравнения. Показано, что аппроксимативное решение V принадлежат пространству СДП), Ыр(й) или ух € Ыр(й), если правая часть уравнения принадлежит соответствующим лебеговым или соболевским пространствам и допускает вырождение (/ > 0).

§ 2.2. Построение барьерных функций
В настоящей диссертации получили развитие барьерные функции, источником которых можно назвать работу [5]. Они выступают основным средством вывода оценок ип, щ;п. Пусть жо Є дП. В окрестности точки хо построим вспомогательную область Г2Г, описанную в (1.4.6)—(1.4.7) и (1.4.20)—(1.4.21). Функцию У/, которую в дальнейшем будем называть барьерной, определим предварительно как функцию, зависящую от величины у из (1.4.19):
IV — Н(у), у Є Пг> У — хп — ш(х) + хт2.
Для обсуждения полезных свойств функции ТУ , будем использовать подвижную систему координат, порожденную сопровождающим базисом (1.4.12) к поверхности Гг.
Предложение 2.2.1. Для функции ТУ в области 61Г справедливо тождество
ігр¥хх = (-|&|/0р_1(Ы2Л'Ч-1£[Гг]-
- ухШгрК[Тг - Ь'{ШххШ-^г^1К{Тг]) + Т„, (2.2.1)

л т1 л 01/гр¥хх
где 1Р = 2_^ д—-ЗпіЯщ, эы ~ элементы матрицы УХХ.
Причем Тр < с(||Гг||са).
Доказательство. Возьмем произвольную точку х Є !Г2г. Рассмотрим в точке х систему координат (ж1, ж2,..., хп) , порожденную сопровождающим базисом (1.4.12) к поверхности Гг в этой точке. В координатах (ж1, ж2,..., Xа) имеем
<92ТУ .. ду ду . д2у ,
= + И'—ГЇ-І, к, 1 = 1,...,п.
дхкдх1 дхк дх1 дхкдх1 Согласно (1.4.22)
||(*) = Ы, ||(ж) = 0’ к = 1,2, ...,п — 1 Заметим, что
ІЇ/жІ = л/і У б)2, ухх дэхх-