Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями

• Автор: Кинзебулатов, Дамир Маратович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 129 с.

Обозначения

Вспомогательные определения

1. Пространство обобщенных функций К'

2. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из %'

3. Пространство обобщенных функций Т

4. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из Т'

5. Достаточные условия положительной инвариантности

6. Достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости

7. Об импульсной задаче удержания решения в множестве

8. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями общего вида

9. Модель Бевертона-Холта

10. Сравнение с некоторыми из существующих подходов
Список литературы

Обозначения
I = (а, Ь) - открытый интервал в К, возможно бесконечный.
3 = Н- I) •
К11 - пространство векторов размерности п с тах-нормой | • |.
1пт - пространство матриц размерности п х т с тах-нормой | • |.
(•, ■) - пара или скалярное произведение в К"
- покомпонентное произведение векторов в К".
/Iк ~ сужение отображения / на подмножество К.
зирр(д) - носитель обычной или динамической функции д, с. 45.
вТ(£) = 0 если t <т, 0т(р) = 1 если 2 > т (единичная функция, разрывная в 4 = г)
%/с - характеристическая функция множества Я".
д{1+) ~ предел справа обычной или динамической функции д в точке t. д{1—) - предел слева обычной или динамической функции д в точке I.
ъ(д) = д(*+) - э(Н, = з(0(-1/2+) - Т(д) - множество точек разрыва обычной или динамической функции д. с!М - замыкание множества М.
I = (1 1) € К".
I - алгебра отображений / —» К, с. 21.
€ - алгебра ограниченных непрерывных функций I —> Ж.
■ алгебра функций д : I —> К таких, что д 6 С (0 ^ А; ^ т).
Ь - алгебра суммируемых по Лебегу функций І —+Ж.
АС - алгебра абсолютно непрерывных функций І —* Е.
Ьіос - алгебра локально суммируемых по Лебегу функций І —> К.
АСьс - алгебра локально абсолютно-непрерывных функций І—»К.
С - алгебра ограниченных функций 7 —* К, обладающих односторонними пределами д(і+), д(і—) в каждой точке £ Є сі7, с. 21.
В¥ - алгебра функций ограниченной вариации 7 -» К, с. 22.
С - алгебра эквивалентных функций из С, отличающихся лишь значениями в точках разрыва, с. 21.
С)ос - алгебра функций д : I н-> К таких, что для каждого ограниченного подинтер-вала £1 С 7, с1£7 С I, выполнено включение ц|ц Є С(£7), с. 23.
Ст - алгебра функций д Є С таких, что д^ Є С (0 < к < тп), где определно
всюду кроме некоторого не более чем счетного множества.
Ст10с - алгебра функций д : I К таких, что для каждого ограниченного подин-тервала £2 С 7, еШ С 7, выполнено включение дц Є <Ст(П), с. 23.
В¥ - алгебра эквивалентных функций из Ш>¥, отличающихся лишь значениями в точках разрыва, с. 22.
В¥іос - алгебра функций д : 1 К таких, что для каждого ограниченного подин-тервала £1 с 7, сШ С 7, выполнено включение сфг Є В¥(£2), с. 23.
СВ¥ - алгебра непрерывных функций ограниченной вариации 7 —> Е.
СВ¥іос - алгебра функций д : I ь-> К таких, что для каждого ограниченного подин-тервала П С 7, сЮ С 7, выполнено включение дц Є СВ¥(£2), с. 23.
<Ш - алгебра динамических функций 7 —» В(7), с. 45.
/(£)(•) - динамическое значение / Є с£В в £ є 7, где /(£)(■) : 7 —+ Ж, с. 45.
Следствие 3.1. Пусть {fk}kLi С dG, f 6 dG и /& —> f в dG. Тогда имеет место сходимость fk~> f в G.
Лемма 3.5. Алгебра dG банахова.
Доказательство. Если /, g £ dG то, очевидно, ||/(?||dc < Ц/ЦжЦ^Н« ■ Пусть последовательность {fk}kLi С dG является фунадменталыюй, т.е. для каждого г > О найдется N £ N такое, что для всех к, rn ^ N выполняется
Ifk /mllrfG *£ в.
Согласно определению нормы
(3-6) ||Д - /„,|| лз = sup | fk - /„, | = sup sup | fk{t){s) - fm{t)(s) | < s.
I tel seJ
Следовательно, для всех t £ I
для всех к, m ^ N, т.е. последовательность {fk(t)(')}kLi С G(J) является фундаментальной. В силу полноты G(7) для каждого £ £ I имеет место сходимость -> /ООО, где /(£)(■) е G(J). Из (3.6) следует равенство
(3.7) II/ - /m|Usup I fk - fm I = supsup I /(f)(s) - fm(t)(s) | < £
I tel seJ
для всех m ^ N. Следовательно, если / 6 dG, то fm —> / в dG. Покажем, что f £dG. Согласно лемме 3
ИД Дг||<Е ^ ||Д /mllf/G £,
для всех к , m ^ N, так что в силу полноты пространства G имеет место сходимость J'k —» g, где g(-) £ G. Покажем, что J' £ dG имеет односторонние пределы в каждой точке t £ I, совпадающие с одностронними пределами g(-) £ G. Действительно,
IIЩ+) ~ I\dG(t,t+v) ^ 19(t+) ~ Л(*+)| + ||Д(2+) — Д||dG(f,i-Hj) + II/* — f\dGдля любого rj > 0. Так как Д —► д в G, то найдется JVi £ N такое, что для всех к ^ Ni выполняется || 0 такое, что ||Д(£+) - fk\da(t,t+v) < Е (гДе /*(*+) = /(£+) согласно лемме 3.2). Из полученных оценок и неравенства (3.7) следует, что
\Ш+) ~ f\dG{t,t+v) < Зе.