Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях

• Автор: Копытин, Алексей Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 77 с.

Содержание
Введение

1 Волновое уравнение на пространственной сети

1.1 Волновое уравнение на пучке

1.2 Геометрический граф и волновое уравнение на нем

1.3 Согласованные продолжения /е для функции /, заданной

на графе

1.4 Аналог формулы Даламбера на сети

1.5 Единственность решения задачи Коши

1.6 Непрерывная зависимость решения от начальных данных .

2 Обобщенные решения волнового уравнения на конечном графе

2.1 Используемые понятия и определения
2.2 Свойства оператора -Дг и порождаемой им КОФ
2.3 Обоснование метода Фурье для волнового уравнения
2.4 Ограниченность решений волнового уравнения в пространстве Со (Г) в случае графа с соизмеримыми ребрами
2.5 Теорема о спектре оператора —Дг
2.6 Квази-периодичность решений волнового уравнения
2.7 Пример графа, на котором волновое уравнение имеет непериодические решения
Литература

Введение
Дифференциальные уравнения на пространственных сетях (геометрических графах), привлекшие пристальное внимание математиков около двух десятилетий назад, актуальны в самых различных разделах техники и естествознания. Они возникают при описании явлений в непрерывных системах сетеподобной структуры (электрических, гидравлических, акустических сетях, тепловодах, волноводах, нейронных и вычислительных системах, упругих решетчатых конструкциях, электронных системах и т.д.).
Первые математические постановки краевых задач для дифференциальных уравнений на сети связаны с именами G. Lumer’a, S. Nicaise’a, Ю.В. Покорного, Б.С. Павлова и Л.Д. Фаддеева, J.-P. Roth’a (см. [15, 19, 34, 44, 45, 46, 52, 53]). К настоящему времени заметные продвижения в этой области принадлежат S. Nicase’y - исследование асимптотики спектра с помощью преобразования Фурье, анализ функции Вейля, построение полугрупп в соответствующих гильбертовых пространствах (см. [47]—[49]), F. Ali-Mehmeti - анализ распространения волн для линейных и нелинейных уравнений (см. [30]—[33]), J. von Below’y - исследование обратных задач восстановления структуры сети по ее спектру (см. [35]—[38]), J.E. Lagnese’y, G. Leugering’y и E. J. Р. G. Schmidt’y - асимптотика спектра для уравнения четвертого порядка, проблема управляемости (см. [40] [43], [54]).
Заметные результаты получены и в направлении, разрабатываемом Ю.В. Покорным и его учениками - это классический цикл осцилляци-онных свойств (спектральная простота, число нулей собственных функций и их перемежаемость и пр.) как в соответствующей осцилляцион-ной теории, восходящей к Штурму, а в XX столетии развитой усилиями
О. Kellogg’a, М.Г. Крейна и S. Karlin’a. Синтетический (недекомпозиционный) взгляд на дифференциальные уравнения на сетях, разработанный Ю.В. Покорным и его учениками, позволил на этом пути построить

теорию неосцилляции для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, теорию функции Грина, установить теоремы сравнения (см. [3]-[7], [20]—[28]), на основании которых и получаются осцилляцион-ные свойства спектра и собственных функций ( см. [17, 18, 29]).
Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения
^tt ~ ILxx
на геометрическом графе. Изучение распространения волн на сети началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Коши для гиперболического уравнения общего вида.
Цель данной работы - получить явное представление решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети через начальные данные (в форме Даламбера) и на основе этого представления исследовать вопрос об ограниченности, почти-периодичности и квази-периодичности решений.
Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Получен аналог формулы Даламбера для решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети и на его основе установлена корректность соответствующей начальной задачи.
2. Обоснован метод Фурье для обобщенных решений волнового уравнения на конечном графе.
3. Доказана ограниченность всех обобщенных решений волнового уравнения и получена их оценка в случае конечного графа с соизмери-
Пусть теперь V - конечная вершина ребра е, а у' - начальная вершина е. Тогда имеем
^е(^е) <0 = 2 (^е(4 + 0 + — 0) +

J Mv)dv+^ J ФеЫ dr}. (1.18)
В силу формул (1.14) и (1.15), для произвольной функции / из Со (Г) имеем
7е{1е + ^(ev)fe',v{t) - fe,v(t), t > 0 (1.19)
e'EEv
В силу (1.9), при t € [0,1е] имеем
feile -t)= feile -t)= fe,,it),
а в силу (1.15), имеем
feile ~t) = 2 K(e'v,)fe>,vr(t - le) - fey(t - le), t > le.
e'eEvi
Таким образом, получаем
feile-t) = fetV(t), t> 0. (1.20)
Подставляя правые части равенств (1.19) и (1.20) в (1.18), получим
'We(^ej^) 2 ^ ^ У ^i^v)^Pe',v{f) (Pe,v(t) + ^e,t)(^)^ Т

l J ФеЛ'П) dll + f (2 X кЮФе'Ач) - ФеМ) dr] =
q Л e'eEv

= XI K(4)^e',t;(i) + X drl■

&r&EV 6f€zEi
Таким образом, в произвольной вершине п графа Г имеем

(v,t) = X Aev)Ve',vit) + X к(е^) / Ä',viv)dv- (1.21)

є* £Ev е'єЕу