Обратные и нелокальные задачи для вырожденных эволюционных уравнений

• Автор: Иванова, Наталья Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Содержание
Введение
Актуальность темы исследования
Степень разработанности темы исследования
Цели и задачи
Научная новизна
Теоретическая и практическая значимость работы
Методология и методы исследования
Положения, выносимые на защиту
Степень достоверности и апробация результатов
Краткое содержание диссертации
1 Нелинейные обратные задачи
для вырожденных эволюционных уравнений
1.1 Невырожденные обратные задачи
1.2 Прямая задача для вырожденного уравнения
1.3 Обобщенное решение нелинейной обратной задачи
1.4 Классическое решение нелинейной обратной задачи
1.5 Нелинейная обратная задача для уравнений с многочленами от эллиптических операторов
1.6 Нелинейная обратная задача для системы Соболева
1.7 Нелинейная обратная задача для линеаризованной системы Осколкова
1.8 Обратная задача для нелинейной системы уравнений Осколкова
2 Линейные обратные задачи
с переопределением на подпространстве вырождения
2.1 Линейная обратная задача для вырожденного эволюционного
уравнения

2.2 Обратная задача для линеаризованной квазистационарной
системы уравнений фазового поля
2.3 Линейная обратная задача с вырождением
для линеаризованной системы Осколкова
3 Нелокальные по времени задачи
3.1 Нелокальные задачи для однородного невырожденного
уравнения
3.2 Задача для неоднородного невырожденного уравнения
3.3 Нелокальная задача для вырожденного уравнения
3.4 Нелокальная по времени задача для уравнения Дзекцера
3.5 Нелокальная но времени задача для линеаризованной
квазистационарной системы уравнений фазового поля
3.6 Нелокальная задача на полуоси
для вырожденного эволюционного уравнения
3.7 Нелокальная на временной полуоси краевая задача
для уравнений с многочленами от оператора Лапласа
Заключение
Список обозначений и соглашений
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования
В диссертационной работе представлены результаты исследования разрешимости обратных (линейных и нелинейных) и нелокальных по времени (на полуоси и отрезке) задач для вырожденных эволюционных уравнений. Под вырожденными эволюционными понимаются такие уравнения и системы уравнений, вообще говоря, в частных производных, которые, будучи формализованными в виде уравнений для функций одной выделенной (эволюционной) переменной со значениями в банаховом пространстве (пространстве функций остальных переменных), имеют оператор при старшей производной, обладающий нетривиальным ядром. Задачи такого типа встречаются во многих прикладных областях современной науки и техники, интенсивное исследование которых в значительной мере обусловлено проблемами практики. Тем самым, имеется необходимость в разработке математического аппарата для исследования таких задач. Вопросы существования и единственности решения, которым посвящена данная работа, являются одними из главных вопросов теории дифференциальных уравнений, как правило, лежащими в основе любых других исследований, связанных с соответствующими задачами.
Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полу-

Гладким решением задачи (1.1.1)—(1.1.3) на отрезке [О, Т] называется такая пара (х,и) £ [С1 ([О, Д]; £) П С([0, Т]; ДД] х С1 ([О, ТД; Я), для которой выполняется равенство (1.1.2) и соотношения (1.1.1), (1.1.3) при всех £ £ [О,?:].
Для получения достаточных условий существования классического решения рассматриваемой обратной задачи условия (Я) и (Е) заменим более сильными условиями:
(ИД существует число Я > 0 такое, что отображение Я дифференцируемо по Фреше на множестве 5и(2/о, -Д Т) и его частные производные Д, Еу непрерывны на нем в операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно у;
(ИД существует число Я > 0 такое, что обе функции Сы(4, х) и С?2(£, х, и) ЯВЛЯЮТСЯ дифференцируемыми ПО Фреше на множестве 5фху((.'Го, Но), Я, Т) и их частные производные Си, С^, Яге, бгх, непрерывны на нем по операторной норме и удовлетворяют условию Липшица относительно (т,н).
Теорема 1.1.2. [81] Пусть А — иифииитезималъпый генератор Са-пепре-рывной полугруппы в пространстве X, хо £ Г>а, операторы Ф, ФА £ £(Э£; Я), Ф £ С2([0, Т];Я), Фт0 = Ф(0), а также выполняются условия (1.1.4), (А)-(С), (ИД, (ЯД. Тогда при некотором Т £ (0,Т] существует единственное классическое решение (х,и) £ [С71 ([0, ТД]; X) П С([0, ТД; Ид)] х О1 ([0, Т]; И) обратной задачи (1.1.1)—(1.1.3) на отрезке [0, ЯД].
В случае С(Дж(Д, гг(Д) = Я(Дн(Д + у{Д, где В : [0, Г] —> £(Я;2)), у : [О, Г] -» 2), задачу (1.1.1)—(1.1.3) будем называть линейной эволюционной обратной задачей.
1.2. Прямая задача для вырожденного уравнения
Доказательства утверждений данного параграфа могут быть найдены в [48-50].