Устойчивость некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, связанных с логистическим уравнением динамики популяции

• Автор: Вагина, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 114 с. : ил.

1 Линейное интегродифференциальное уравнение с запаздывающим усреднением
1.1 Постановка задачи о запаздывающем усреднении
1.2 Существование, единственность решения интегродифферен-циального уравнения. Устойчивость
1.3 Характеристическое уравнение для уравнения с ограниченным последействием (1.3)
1.4 Теорема о необходимом и достаточном условии устойчивости нулевого решения уравнения (1.1)
1.5 Сравнение области устойчивости нулевого решения уравнения (1.1) с областью, гарантированной "теоремой о 3/2 -устойчивости" и результатом Гопалсами
1.6 Лемма об элементарном неравенстве к доказательству теоремы 1.4
1.7 Доказательство теоремы 1.4.1 об условиях устойчивости нулевого решения уравнения (1.1)

2 Линейное дифференциальное уравнение с дискретными запаздываниями. Ограничения на произведение е и среднего запаздывания
2.1 Постановка задачи о дискретных запаздываниях
2.2 Устойчивость и характеристическое уравнение для уравнения (2.1)
2.3 Теорема о достаточном признаке устойчивости нулевого
решения уравнения (2.1)
2.4 Лемма об элементарном неравенстве к доказательству теоремы 2.3
2.5 Доказательство теоремы 2.3.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (2.1)
2.6 Примеры к теореме о достаточном признаке устойчивости
уравнения (2.1) и комментарии
2.7 Ошибочность необходимого признака устойчивости К
палсами
2.7.1 Еще одно достаточное условие устойчивости нулевого решения уравнения (2.1)
2.7.2 Локализация ошибки К. Гопалсами
2.8 Понимает ли программа ббе23 идеи Пермского семинара?
2.9 Область устойчивости нулевого решения уравнения (2.14):
численные эксперименты
2.9.1 Цели численных экспериментов
2.9.2 Описание численных экспериментов с годографами

2.9.3 Описание численных экспериментов с пакетом сЫе23
в среде МАТЬАВ
2.9.4 Комментарии к результатам численных экспериментов
2.10 Дифференциальное логистическое уравнение динамики популяции с запаздываниями в воспроизводстве и в реакции окружающей среды
3 Линейное интегродифференциальное уравнение с распределенной памятью. Ограничения на е и среднее запаздывание
3.1 Постановка задачи о распределенной памяти
3.2 Теорема о достаточном признаке устойчивости уравнения (3.1)
и комментарии
3.3 Доказательство теоремы 3.2.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (3.1)
3.4 О необходимом признаке устойчивости нулевого решения уравнения (3.1)
3.5 Доказательство точности постоянной п/2 в теореме 3.2.1
4 Линейное дифференциальное уравнение с дискретными запаздываниями. Выпуклость последовательности весовых коэффициентов

2.4 Лемма об элементарном неравенстве к доказательству теоремы 2.3
Лемма 2.4.1 Для любого действительного а ^ 0 выполняется неравенство
а + cos а — (п/2) sina ^ 0. (2.12)
Доказательство Рассмотрим функцию f(a) = а + cos а — (тг/2) sina.
д ч
На промежутке (0, тг/4] имеют место равенства и неравенства
cos а п sin а „ 4 п . ,.л. л
^---> 1 + —— — > 0, и /(0) > 0. Значит, на промежутке
a 2а у27г
[0, 7г/4] неравенство (2.12) выполняется.
Рассмотрим промежуток (п/4,п/2), на котором /'(a) = 1 — sina — (7r/2)cosa ^ 0, так как /"(a) = — cosa + (7r/2)sina > 0 и /;(7г/2) = 0. Поэтому, учитывая, что /(?г/2) = 0, на промежутке (п/4, ж/2) неравенство (2.12) выполняется.
На промежутке [тг/2, п) имеет место равенство и неравенство /'(а) = 1 — sin а — (п/2) cos а ^ 0, и /(тг/2) = 0; значит /(а)
При х 6 [п, +оо), очевидно, /(а) = а + cos а — (7r/2)sina
7Г — 1 — п/2 > 0. Значит для любого действительного а ^ 0 выполняется неравенство (2.12). Лемма 2.4.1 доказана.
2.5 Доказательство теоремы 2.3.1 о достаточном признаке устойчивости уравнения (2.1)

Пусть х(р) = Р + е ^2 cik е~рТк. Рассмотрим движение переменной р по к-О
контуру К к комплексной плоскости, содержащему отрезок Ifi : р = —ш,