Функциональные уравнения типа Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией

• Автор: Лукоянов, Николай Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 239 с. : ил.

I Дифференциальная игра с наследственной информацией. Уравнение для функционала цены

1. Постановка задачи

2. Коинвариантные производные функционалов

3. Уравнение для функционала цены

II Минимаксные решения функциональных уравнений ти-щ па Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными

4. Стабильность классических решений

5. Характеристические комплексы

6. Минимаксное решение функциональных уравнений

типа Гамильтона-Якоби для систем с распределенным запаздыванием

6.1. Нижняя огибающая верхних решений

6.2. Существование и единственность

6.3. Примеры
Ц» 7. Уравнения с однородным гамильтонианом
8. Неоднородные уравнения
9. Корректность минимаксных решений
10. К вопросу приближенного построения решений
III Функциональные дифференциальные неравенства
11. Производные по многозначным направлениям
11.1. Определение производных по многозначным направлениям
11.2. Кусочно-ci-гладкие функционалы
11.3. Огибающие семейства ci-гладких функционалов
12. Инфинитезимальные условия стабильности негладких
jflfe
функционалов
13. Функциональные дифференциальные неравенства для минимаксных решений
13.1. Случай однородного гамильтониана
13.2. Общий случай
13.3. Примеры

14. Вязкостные решения функциональных уравнений
типа Гамильтона-Якоби с «-производными
IV Минимаксное решение уравнения типа Гамильтона-Якоби с сьпроизводными и функционал цены дифференциальной игры с наследственной информацией
15. Стратегии прицеливания в направлении «-градиентов вспомогательных функционалов
16. Стратегии прицеливания на стабильные мосты
17. Стратегии экстремального сдвига на сопутствующие точки
Приложение: Дифференциальные системы с наследственной информацией
Р1. Дифференциальные уравнения с последействием
Р2. Дифференциальные включения с последействием
Литература

Предыстория и актуальность темы. Представляемая диссертация посвящена проблеме развития для экстремальных задач в наследственных динамических системах конструкций и методов, связанных с уравнениями Гамильтона-Якоби. Объектом исследования данной работы являются задача управления наследственными динамическими системами в условиях неконтролируемых помех или конфликта и функциональное , дифференциальное уравнение типа Гамильтона-Якоби с коинвариантны-
ми производными. Исследования проводятся в рамках теоретико-игрового
подхода, разрабатываемого в научной школе H.H. Красовского по оптимальному управлению.
Начиная с вариационных принципов классической механики, в современной теории динамических систем и оптимальных процессов сложились два основных, взаимно дополняющих друг друга подхода к решению экстремальных задач. Первый подход связан с непосредственным вычислением экстремального движения при фиксированном начальном состоянии. Фундамент этого подхода составляет принцип максимума JT.C. Понтрягина. В диссертации рассматривается второй подход, связанный с поиском функции цены, которая каждой точке пространства состояний системы ставит в соответствие оптимальный результат (или, в случае наличия неконтролируемых помех, - оптимальный гарантированный результат), достижимый из нее, как из начальной. Этот подход приводит к дифференциальным уравнениям типа Гамильтона-Якоби с частными производными первого порядка. В задачах оптимального управления -это известное уравнение Веллмана [15, 16], в дифференциальных играх -уравнение Айзекса [2]. Аналогичные уравнения возникают в геометрической оптике - уравнение эйконала [94], в газовой динамике - предельное уравнение Бюргерса-Хопфа [162, 240, 252, 270] и т.д. Эти уравнения также % можно интерпретировать в свете решения соответствующих экстремальных задач.
В рамках первого подхода решаются задачи оптимального программного управления (см., например, [3, 20, 23, 27, 28, 41, 72, 156, 255, 295]). В русле второго - на базе функции цены строятся позиционные стратегии оптимального управления по принципу обратной связи, назначающие текущее управляющее воздействие с учетом доступной информации о сложившемся к данному моменту состоянии системы, что особен-

управления (3.18). Функционал цены этой игры имеет вид
{хъЩ 4- е, если 0 <*<£*,
уДЩ - ж1^*])2 + е2 + ^2И, если С < Ь < Т.
Этот функционал является сьгладким, так что по теореме 3.1 в данной игре существуют оптимальные стратегии Щ = 11° (£, Д0[-]£]) и
1^.° = ж[0[ф]) , которые строятся согласно (3.3), (3,4) по «-градиенту
= VГ° этого функционала. После вычислений получаем
УГ° [ ~{0,1}, * ^ [о,
и‘“ = 'Цуг! = { -^=3=5 {», т/ёТТ!}, * е [с.т), <319>
где Ъ := хЩ — Ж1 [£*]. Справедливы следующие соотношения: 7е-£<Ъ<7е, Г°-е<Г2< Г°.
Учитывая это и то, что стратегии (3.19) оптимальны во вспомогательной дифференциальной игре (3.10), (3.18), выводим, что для любой возможной реализации {*[•],«[•],«[■] | д° = {<°, ж°[0[-]£0]}; Щ(-), Д^; н[-]} процесса управления системой (3.10) на базе данной стратегии £/“(•) из начальной позиции д° = {£°, ж°[0[-]£°]} будут выполняться неравенства
72 < Ъ < г 1(д°) + Г](5) < ГДд0) + £ + г](6), где г](5) —> 0 при 5 4-0. Следовательно, в согласии с (1.16) получаем, что Г2и (90,и°Е(-))<Г°2(д0) + е. (3.20)
С другой стороны, для реализаций {#[■], «[•], и[-] | д°; «[•]; 1Д-), А^} процесса управления на основе стратегии 1Д-) имеем
Ъ>Ъ~е> Г°(д°) - г,{8) - е > Г^д0) - г? (5) - е, откуда в согласии с (1.18) заключаем, что
Г2„(д°,УД-))>Г^°)-е. (3.21)
Так как Ц - цена игры (3.10), (3.14), то на основании (1-17), (1.19) и (1.22) имеют место неравенства
Г2„(д°, УД-)) < 1Дд°) < Г2и(д°, ££(■)).