Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств

• Автор: Коньков, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 262 с.

Оглавление
1. Введение

2. Дивергентные неравенства с измеримыми коэ-

фициентами

2.1. Неотрицательные решения дивергентных эллиптических неравенств

2.2. Редукция теоремы 2.1.2 к бесконечно гладкому случаю

2.3. Доказательство соотношения (2.13)

2.4. Доказательство соотношения (2.14)

3. Недивергентные неравенства

3.1. Неотрицательные решения недивергентных эллиптических неравенств

3.2. Доказательство (2.13) в недивергентном случае

3.3. Доказательство (2.14) в недивергентном случае
4. Решения эллиптических неравенств в неограниченных областях
4.1. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений
4.2. Оценки для решений эллиптических неравенств.
Теоремы единственности
4.3. Субэллиптические функции в неограниченных областях
4.4. Неравенства типа Эмдена-Фаулера

5. Эллиптические неравенства в областях, принад-
лежащих К2
5.1. Неотрицательные решения эллиптических неравенств в плоских областях
5.2. Доказательство соотношения (5.8)
5.3. Доказательство соотношения (5.9)
6. Эллиптические неравенства в неограниченных областях, являющихся подмножествами М2
6.1. Решения эллиптических неравенств в неограниченных плоских областях
6.2. Неравенства типа Эмдена-Фаулера в областях, принадлежащих М
6.3. Субэллиптические функции в плоских областях
7. Эллиптические неравенства в областях, расположенных в слое
7.1. Неотрицательные решения эллиптических неравенств в областях, расположенных в слое
7.2. Теоремы единственности
А. Свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений
Литература

Глава 1.
Введение
Пусть П — непустое открытое подмножество К", п > 2, В = К" О,, и пусть Ь — дифференциальный оператор вида
где йу — измеримые функции такие, что ац = ад и для некоторых вещественных чисел С > О И С% > 0 при всех £ = (£1, ... , £„) £ К" и почти всех X = (яд,... , хп) 6 Мп
где симметрическая матрица ||ау(ж)|| при всех і,( е К" удовлетворяет тому же условию (1.2).
Договоримся о следующих обозначениях.
Под <5®, 5;? мы будем подразумевать, соответственно, открытый шар (2* = {у : |у - х < г} и сферу 5* = {у : |у ~ х = г} радиуса г с центром в точке х. Для всякого множества шСІ" его
(1.1)

С'іІСІ2 < ^2 аіЛхШі ^ С'гІчІ2 •
(1.2)

Мы будем также рассматривать оператор
(1.3)

Пусть Dk = R"fIk, к = 1,2,..., Лопределенаспомощью (2.37), где b = max{6)r1/(l — й^тд/оу}. Из (2.1) и включения Dk С D следует, что
А(т) < inf t4{x;5,v) +
xeQknQTgQT

т~п cap(Dk П Qt<72 QTav Qrai QTщ) ПРИ т > ri,

Hk{x; S, p) = sup cap(Dk П Qf, QB).
fe(MM)
Предположим, что для всех к > р £ (ri, г) выполнено неравенство
M{p;vk) - M(n;vk) >

Vs О-©') И''’«®«»
+7Л(£)М(^)) ^, (2-54)
где /, о, а, ß, 7 такие же, как в теореме 2.1.1.
Из (2.53), (2.31) и (2.52) будем иметь для любого р Є j/д, г)
lim Ufc) = М(р; и).
к—ї оо
При этом ввиду (2.46) для всякого натурального к
M(p;vk) < М(р и).
Таким образом, учитывая (2.4), из (2.54) по теореме Лебега об ограниченной сходимости при к —>■ оо находим
М(р',и) — М(гд;и) >
IJt 0) ) (a/(£,/3M(£;W))+7Ä(£)M(£;tt))