Разрешимость краевых задач для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Брагина, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 101 с.

Основные обозначения

Глава 1. Вспомогательные утверждения.

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Абстрактные линейные краевые задачи

1.3. Оператор Чезаро

1.4. Коэффициент сюръективности и его свойства

1.5. Вычисление и оценки коэффициента сюръективности

1.6. Коэффициент сюръективности линейных краевых задач

1.7. Некоторые теоремы о неподвижных точках

Глава 2. Коэффициент сюръективности ФДУ и линейных краевых задач.

2.1. Коэффициент сюръективности оператора Чезаро

2.2. Оператор Грина с минимальной нормой
2.3. Примеры построения оператора Грина с минимальной нормой
Глава 3. Краевые задачи для ФДУ.
3.1. Задача Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения первого порядка
3.2. Конечномерная параметризуемость квазилинейного функционально-дифференциального уравнения
3.3. Разрешимость краевой задачи для квазилинейного функциональнодифференциального уравнения
Литература

Основные обозначения.
Rn - . я-мерное евклидово пространство векторов
а = col(a,£*2» "ч&п)’ гДе ai е Л1,1 = 1,я с нормой |• |;
С - поле комплексных чисел;
Е - единичная матрица;
/ - тождественный оператор;
X, Y, - вещественные банаховы пространства ■
Н - гильбертово пространство со скалярным произведением (у); *1**2- прямое произведение банаховых пространств;
ATj © Х2 - прямая (топологическая) сумма банаховых пространств; kerL - ядро линейного оператора L
R(L)czY - образ линейного оператора Ь
X' - банахово пространство сопряженное с X ;
I* : F* -» X* - оператор сопряженный к L ;
Р : X -> X - проектор;
Рс - дополнительный проектор для Р ;
Lp"a,b\< р<<х> - банахово пространство вектор-функций
у :[а,б]--> Rn с суммируемыми в р-й степени компонентами и нормой
(Ь Ур
fly(s)T Ь2[а,Ь] - действительное гильбертово пространство суммируемых с
квадратом функций со скалярным произведением

Эрп[а,Ь\<р < со - банахово пространство абсолютно непрерывных вектор-функций л:: а,Ь —> Я" таких, что л: є Ьрп, с нормой
ІМІп,
Э2[а,Ь] - гильбертово пространство со скалярным произведением {х,у)= х(а М«)+ ИМД'У';

¥рп[а,Ь\<р < оо - банахово пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной вектор-функций л::[я,Л]—> Яп таких, что х є Ьр , с нормой
Ни, =К«№И+И1Р;
У2[а,Ъ] - гильбертово пространство со скалярным произведением

(,г,^)= *(«)>-(«)+ л-(«)у(я)+ |.ё(/)у(/>//.

Lx = дг = у,
Ix = ах(0)= а,
коэффициент сюръективности определяется равенством: [1, при |я|>1;
1|а|, при Ы < 1.
Действительно, по формуле (1.6.4) имеем q(L,l)= mf2 -уЦгЦ2+«2|у|2 . Выражение под знаком inf преобразуем двумя способами:
И2 + Art = л/NI2 + г2 + («2 - 1]г2 0-6.5)
Л2ЧА4+г2И-°2М- (1-6.6)
При |а|>1 из (1.6.5) получаем q(L,l)= mf^ -^1 + (я2 -l)y|2 . Выражение в скобках положительное, следовательно inf достигается при / - 0 значит
q(L,l)=l. Во втором представлении: q(L,l)= inf -^я2 +(1 -я2)|г||2 •
H2+M2='
Поскольку 1-я2 <0, inf достигается при ||z|| = l и, следовательно, q(L,l)= 1.
Пусть теперь |я|<1. Из (1.6.4) видно, что при |Ы| = 1 подкоренное выражение будет минимальным:
чМ=[z|2inf2=i Vi+(«2-i)H2 = Vi+(«2-i)=N •
И наоборот, поскольку 1-я2 >0, то из (1.6.6) получаем inf при Ы = 0:
= и •
Точное значение коэффициента сюръективности линейных краевых задач можно вычислить только в исключительных случаях. На практике