Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения

• Автор: Ильясов, Радик Рафикович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 129 с.

1 Краевые задачи для гиперболического и эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом

§ 1.1. Спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу

и Гурса

§ 1.2. Решение задач Коши и Гурса

§ 1.3. Построение решений задач Дарбу

т* §1.4.0 неединственности решения задачи Коши для эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом

2 Спектральные задачи для оператора Пулькина

§2.1. Постановка спектральной задачи Т

§ 2.2. Построение собственных значений и соответствующих им собственных функций задачи Т

§2.3. Исследование на полноту в Дг системы собственных функций задачи Т

§ 2.4. Спектральная задача TN\ с производной по нормали к части эллиптической границы
§ 2.5. Спектральная задача ТЛ^д с производной по нормали к линии сингулярности
§ 2.6. Спектральная задача ТИ с производной по нормали к эллиптической границе

З Построение решений краевых задач для уравнений с оператором Пулькина
§ 3.1. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина 81 § 3.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения ПульТ кина с комплексным параметром
§3.3. Построение решения задачи ТN1
§ 3.4. Построение решения задачи ТЛ^
§ 3.5. Построение решения задачи ТТУ
§ 3.6. Построение решения пространственной задачи Трикоми для
уравнения смешанного типа
Литература

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [53, 54] и С. Геллер-стедта [61], где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений. Так, Ф. Трикоми рассмотрел уравнение
У иХх + ‘Чуу = 0 (^
в области £>, ограниченной гладкой кривой Г, расположенной в верхней полуплоскости, с концами в точках А и В оси у = 0, и характеристиками АС (х + у = 0) и СВ {х — у = 1) уравнения (0.1). Им была поставлена
Задача Трикоми. Найти в области Б решение и (х, у) уравнения (0.1) из класса функций
и (х, у) е С(П) П СБ) П С2(Б АВ), удовлетворяющее граничному условию
и (х, у) = и0 (х, у), (х, у) е АС и Г,
где щ (х, у) — заданная и достаточно гладкая функция.
Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г оканчивается в точках А и В двумя сколь угодно малой длины дугами "нормальной" кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Глава 2. Спектральные задачи для оператора Пулькина

§ 2.1. Постановка спектральной задачи Т
Рассмотрим уравнение смешанного типа

5н + Хи = ихх+ в£пу •иуу + — их + Хи = 0, (2.1)
где ? / 0 и А Є С, в области И, ограниченной характеристиками АС (х--у = 0) и СВ (х—у = 1) уравнения (2.1); отрезком АК оси х = 0, К = (0, к), к > 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой чет-верти, с концами в точках К а В.
Обозначим = С П {у < 0}, И+ = И П {у > 0} ив зависимости от значений параметра д для уравнения (2.1) в области В поставим спектральную задачу, соответствующую задаче Трикоми.
Спектральная задача Т (д < 1/2). Найти значения параметра X и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям:
и (ж, у) Є С(П) П С1 (И) П С2(£>_ и £>+), (2.2)
Би (ж, у) + А и (ж, у) = 0, (ж, у) Є £>_ и £>+, (2.3)
и у) ~ 0) (®> 2/) ^ АС и АК и Г. (2.4)
Спектральная задача Тд(д>1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (ж, у) из класса (2.2), удовлетворяющие уравнению (2.3) и условию
и (х, у) = 0. (х> у) Є ^С и Г. (2.5)