Решение задачи Коши и некоторых краевых задач для гиперболического уравнения с оператором Бесселя

• Автор: Гафурова, Сириня Мубарякшиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Решение задач Коши для волнового уравнения с оператором Бесселя методами усреднения и потенциалов
§1. Решение задачи Коши для волнового уравнения с оператором
Бесселя методом усреднения
§2. Метод спуска (п. 2.1-2.2)
§3. Фундаментальное решение сингулярного волнового
оператора (п. 3.1-3.2)
§4. Запаздывающий и поверхностные потенциалы для сингулярного волнового оператора (п. 4.1-4.2)
Глава 2. Решение смешанной задачи для гиперболического уравнения с оператором Бесселя методом Фурье
§1. Постановка смешанной задачи и теоремы единственности
(п. 1.1-1.2)
§2. Решение смешанной задачи для полуцилиндра
(п. 2.1-2.4)
§3. Решение смешанной задачи для цилиндра (п. 3.1-3.4) .... 68 §4. Решение смешанной задачи для полушара (п. 4.1-4.2)
Литература

Введение
Теория краевых задач для вырождающихся и сингулярных гиперболических уравнений представляет собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется ее многочисленными приложениями в газовой динамике, теории оболочек, магнитной гидродинамике, а также других областях науки и техники.
Основы этой теории заложены в хорошо известных работах Ф. Трикоми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, А.Ф. Бицадзе, К.И. Бабенко и других отечественных и зарубежных авторов.
Известно, что уравнения вида
д2и .
ю* ~ ~
где А в = Ах> + ВХр, Ах> - оператор Лапласа, Ву = ^ ^ - син-
гулярный оператор Бесселя, связаны с вырождающимися гиперболическими уравнениями. Поэтому теория гиперболических уравнений, по одной из переменных которых действует сингулярный оператор Бесселя Ву, тесно связана с теорией вырождающихся гиперболических уравнений.
Интерес к уравнениям гиперболического типа поддерживается не только необходимостью решения задач прикладного характера, связанных с различного рода волновыми и колебательными процессами, но и интенсивным развитием теории уравнений смешанного

типа, которое тесно связано с изучением эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области.
В областях своей гиперболичности многие уравнения смешанного типа сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу: например, уравнение Кароля, обобщенное уравнение Трикоми и ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка. Практическая значимость уравнения Эйлера-Дарбу способствует развитию новых краевых задач, поставленных именно для этого уравнения. Работу в этом направлении вели такие авторы, как A.B. Бицадзе, A.A. Самарский, А.М. Нахушев, В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев, A.A. Андреев, P.C. Хайруллин и др.
Вырождающиеся и сингулярные гиперболические уравнения обладают той особенностью, что для них не всегда имеет место корректность задачи Коши. Задача Коши в обычной постановке может оказаться неразрешимой, если гиперболическое уравнение вырождается вдоль линии, являющейся одновременно характеристикой, или коэффициенты гиперболического уравнения при младших членах сингулярны.
В 80-х годах появились первые работы, в которых исследовалась корректность постановок задач Коши, Гурса и Дарбу для модельных вырождающихся систем гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.
Корректность классических задач Коши, Коши-Гурса рассматривалась в работах B.J1. Спицына и А.Ю. Сеницкого для частных и специальных случаев матричных параметров системы уравнений

Подставляя вместо Vn, Von и Vn их значения, получаем при п — 1 аналог формулы Даламбера, при п — 2 аналог формулы Пуассона и при п = 3 аналог формулы Кирхгофа.