Обобщенные функции Малкина и их приложения

• Автор: Михайленко, Борис Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение
1 Абстрактные теоремы о бифуркации из многообразия решений предельного уравнения
1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер некомпактное™ и уплотняющих операторов
1.2 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае гладких операторов и простого собственного значения
1.3 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае негладких операторов и простого собственного значения
1.3.1 Вводный частный случай в К2
1.3.2 Общая теорема в Ж"
1.4 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае сильного вырождения предельного уравнения
1.5 Об эквивалентных интегральных операторах в задачах
о периодических решениях дифференциальных уравнений
1.5.1 Пример несовпадения структур собственных инвариантных подпространств интегрального оператора и оператора сдвига
1.5.2 Теорема об экивалентных интегральных операторах
1.5.3 Примеры построения операторов 3 для некоторых интегральных операторов
1.5.4 Эквивалентный интегральный оператор в случае простого собственного значения
2 Бифуркация периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений
2.1 Бифуркация периодических решений для уравнений
переменной структурой
2.2 Принцип усреднения в системах с вырожденным средним
2.2.1 Принцип усреднения в случае существования присоединенных векторов
2.2.2 Принцип усреднения в случае простого
собственного значения
2.3 Бифуркация из цикла предельного уравнения в случае
сильного вырождения
3 Бифуркация периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием
3.1 Существование. единственность и непрерывная
зависимость решений от параметра
3.2 Дифференцируемость оператора сдвига
3.2.1 Дифференцируемость по пространственной
переменной
3.2.2 Дифференцируемость по параметру
3.3 Проверка условий теоремы о бифуркации
3.4 Вычисление собственных и присоединенных векторов
сопряженного оператора
3.5 Вычисление пределов и старших производных

Введение.
Актуальность темы. Многие математические модели в механике (в том числе и негладкой), физике, биологии, экономике описываются дифференциальными уравнениями различных типов., включающими малый параметр, например, в виде малого внешнего воздействия или малого запаздывания по аргументу. Бифуркация из предельного цикла периодических решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром (так называемая бифуркация Малкина) является важным разделом теории дифференциальных уравнений и динамических систем. Бифуркация таких решений из циклов не возмущенных—уравнений“ случае резонанса активно изучалась в середине XX века в работах И.Г. Малкина (см. 113]) и. немного позднее. B.C
(см. |38j). Впоследствии аналопшные задачи были поставлены и для квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и изучались С.И. Шимановым (например, в (20); |19]). П.Г. Айзенгендлером и М.М. Вайнбергом (вработах |1],|2],|3],[4],|5],|6]). Изучение такого рода бифуркаций позволяет установить, с одной стороны, те положения равновесия или фазы цикла невозмущенного уравнения, из которых рождаются периодические режимы при заданных малых возмущениях, и описать бифуркационные условия, п. с другой Стороны, выбирать такие возмущения, при которых бифуркация происходит из необходимых положений равновесия или точек цикла.
Одним из важных аспектов изучения бифуркаций периодических решений для уравнений с малым параметром является исследование бифуркаций в уравнениях с малым запаздыванием. Уравнения с запаздывающим аргументом активно изучались в 60х-80х годах XX века такими математиками, как P.P. Ахмеров. Я.И. Гольцер,

, [ 0 ) [ 0 ) , /1/6'
этом случае получим Уо = І I . у0 = І I . Хд
следовательно. (гф]п_(х о(#о))) > 0 и

(гс0. п_(.г-0(/90))) < О.
По предложению 1 получ/ам существование одного семейства решений вида
0 й (?)*(«)
Пример 3. Пусть Р(х.у) = . С(х.у,є). Хо(в) и во как в
-yJ
предььдущем примере. Мы имеем

о о ,0 ті,
/±1/2
Поступая та,к же. как в прим,ере 1. мы получим гіф =1 I . и.
таким образом. (и>.п~-(хо(#о))) < 0. Прямым вычислением можно
1.3.2 Общая теорема в М"
В этом подразделе мы рассматриваем бифуркационное уравнение
Р(.г') + ед(х;с) = 0, (1.9)
где Р : М” —> К'7 и ф : К" х [0.1] —» К". Предположим,
что уравнение Р(х) = 0 имеет параметризованное одномерное
множество {хо(). в € [0,1]} решений. Обозначим это множество через Г р. Предположим, что Гр С ПМ/П где М,р- это (п — 1)—мерные гладкие поверхности в М". Тогда ориентированные