Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя

• Автор: Костин, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Обобщенные пространства Степанова
§1.1. Некоторые необходимые определения и обозначения.
§1.2. Векторнозначные пространства Степанова
§1.3. Обобщенные пространства Степанова
§1.4. Пространства ДА, с экспоненциальным весом
Глава II. Интегралы дробного порядка
§2.1. Интегралы Римана-Лиувиля
§2.2. Операторы дробного интегрирования Ж. Адамара.
§2.3. Операторы Бесселя
§2.4. Операторы Гельдера. . .' . . г,
§2.5. О дробном интеграле Бесселя в одной математической моделе динамического процесса с запаздыванием
Глава III. Приложение к эволюционным уравнениям
§3.1 Задача Коши
§3.2. Уравнения на всей оси
Глава IV. Мультипликативные неравенства в нормах
обобщенных пространств Степанова-Соболева
§4.1. Некоторые свойства пространств Брп
§4.2. Доказательство основных неравенств
Литература
Введение
Пусть А и и - метрические пространства с соответствующими метриками рр и рр. Согласно Адамару [16] задача определения решения и Є 11 уравнения
где / € А задано, называется корректно поставленной на пространствах (А, и), если выполняются условия:
а) для всякого / € А существует и £ II- решение уравнения
б) решение определяется однозначно,
в) задача устойчива на пространствах (А, [/), то есть для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства М/:ь/2) < <5, следует рс/(и1,п2) < е.
Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от вы-браных топологий в С/ и А и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добится непрерывности оператора А-1, существования которого обеспечивают условия а) и
б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия оператора А и нормированых пространств II и А, устойчивость будет иметь место, если простанство А наделить нормой
Аи = /,

/II и

и тогда
Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.
В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах начальных данных Т и решений и:
1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае когда А = А(А)-оператор зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора Н_1(А) (в частности резольвенты Д(А) = [А — А/)-1) была независящей от А.
2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства начальных данных Р при которых решение задачи остается в некотором ’’достаточно хорошем” пространстве II.
Так наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж), х е О С Я1,
= {/(ж) : ||/||р = ^ /{х)рбх]р,р> 1}.
С(П)- пространство непрерывных и ограниченных в О функций с нормой
!!/||с = 8ир|/(®)|.
пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка I, функций
с<')(п) = {/(X): /<*>(*) € с(П), 11/11, = £ ||/<1)||с, г = 1.2,...}

Отметим одно важное отлиние (Е) пространств от SP(E). Оно заключается в том, что если по аналогии с SpU(E), где норма определяется равенством (1.2.9), ввести нормы
ll/lls?7„ = SUP С r7_1|l/(n "F T)llP(^r,
n£Z '/u
эти нормы не эквивалентны Spi нормам.
Например, если в случае Е = R1, р = 1, 7 = ~, взять функцию

, х е [0, )
то для нее
в то время как

О, X $ [0,
_ г dx
1Д,n JО
_ 5цр £ ^ д 1 _ = м
2 геЯ1 Л_1 У2~Х
Отметим, что пространства 5^., „ не инвариантны относительно сдвига. В то время как й1* пространства, очевидно, являются таковыми, так как
11/0+ 011^(2?) = + т^х)\рёх]> =

= вир [/ x'1~l\f(t + т ^ x)\pdxp = г+лЯ1 1/
= зир[ С хТ-'Мв Т х)\Чх]р = ||/0)||5± (Е). век
Частным случаем пространств рассмотренных в [18] являются пространства функций заданных на всей оси Я1 следующей нормой
„,7 = /°° — ж|7_1||/(ж)||с?а; = Г° е“|т||г|7_1||/(^-т)||Фг.
У —00 ./—