Вопросы многомерной интегрируемости и построения функции Грина для многомерных дифференциальных уравнений

• Автор: Назаров, Файзуло
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 123 c. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ:

В в е д е н и е

ГЛАВА I. Условия полной интегрируемости многомерных дифференциальных уравнений.

§ I. Постановка задачи. Вспомогательный материал

§ 2. Условия независимости криволинейного интеграла от

пути

§ 3. Основные теоремы полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений

§ 4. Эффективные признаки полной интегрируемости 52.

Глава II. Спектральная теория семейства коммутирующих

линейных дифференциальных операторов

§ I. Спектр конечных наборов коммутирующих неограниченных операторов

§ 2. Почти периодические функции
§ 3. Коэффициентно-частотный критерий полной интегрируемости
§ 4. Набор функции Грина для семейства коммутирующих
дифференциальных операторов
§ 5. Неполная функция Грина; приложение к теории функ-

Пусть X иУ - банаховы пространства и ЦХ.У) - банахово пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих ив х .у. В диссертации рассматривается дифференциальное уравнение
(I)
где ^ - операторная функция, заданная на открытом множестве & из банахова пространства Хх"У и принимающая значения в их,У), а производная понимается в смысле Гато (или Зреше). Векторная функция и>:и—У , определенная на открытом связном множестве II из X , называется решением уравнения (I), если её график лежит в & , она дифференцируема и ^(х) = =|(эс>1р(и]для всех х€11 . Уравнение (I) называется вполне ингег -рируемым (вполне разрешимым), если для любой пары (х0?у0)€& существует единственное решение уравнения (I), удовлетворяющее начальному условию
= (2)
Уравнения вида (I) - (2) играют важную роль в современном анализе. Необходимость их рассмотрения возникает в теории неявных функций, в вариационном исчислении (условия потенциальности операторов), а также в теории групп Ли при построениях локальных групп Ли по их структурным константам. Наконец, отметим,что линейные дифференциальные уравнения используются в дифференциальной геометрии при построении поверхностей по её первой и второй квадратичным формам.
Дифференциальные уравнения вида (I), называвший также дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах ( а также многомерными дифференциальными уравнениями в полных дифферен-

циалах; см. Перов и его ученики [32 - 3?] рассматривались в
ХУШ столетии Л.Эйлером. В работах Ф.Пфаффа [61] »Э.Вебера [ее] были заложены основы теории этих уравнений для конечных систем. Одной из первых работ, в которой систематически излагалась теория дифференциальных уравнений вида (I) - (2) в беско -нечномерном случае, была работа А.Мичела и В.Элконина [59]
С некоторыми усилениями их результаты приведены в обстоятельной работе М.К.Гавурина [Ю] . Для случая конечномерных банаховых
пространств теория линейных дифференциальных уравнений вида (I)-
(2) построена в монографии Р.и Ф.Неванлинна [во] , а для нелинейных уравнений - в монографии Ф.Хартмана [4.?] . Отдельным вопросам этой теории посвящены также статьи В.В.Немыцкого [31] , Е.А.Барбашина [2] ( в связи с изучением общих динамических систем), Д.А.Боже и А.Д.Мышкиса [3] , И.Т.Карклинь и
Л.Э.Рейзиня [12] , В.В.Амелькина и Л.Н.Гайшун [1] , Н.Е.
Большакова и П.П.Потапенко [4] »М.В.Кожеро [23] и Л.Н. Гай-щун [11] .В работах Э.И.Грудо [12], [13] изучаются уравнения с аналитической правой частью. Аналитические свойства и характеристики уравнений (I) - (2) при условии полной интегрируемости изучаются в работе Л.Ф.Янчука [51] . Значительно продвинута теория этих уравнений в цикле работ А.И.Перова и его учени -ков (см., например, [32-3?] , [18],[21] ).
Особо важную роль при изучении уравнения вида (I) играют условия их полной интегрируемости. Если | является гладкой (т.е. непрерывно дифференцируемой), то необходимое и достаточное условие полной интегрируемости имеет следующий вид
(3)
50.

Поэтому в силу условия (3.5) теоремы из последней оценки вытекает,что
Откуда и следует (3.19).В формулах (3.24) и (3.25) $ есть функстоянная. Эго противоречит соотношению (3,19),и тождество (3.26) доказано.
4)Покажем,что уравнение (3.1) вполне интегрируемо. Возьмем произвольную точку {*эсв#Уо5 € U. х V и обозначим через ipc*} радиальное решение уравнения (3.1)»удовлетворяющее начальному условию ^СХо) = Ц0 ,т.е. ^Сх) = ддг([сср,а],у0,||х-даак как множества ц. и V -открыты,то существуют такие положительные числа о( и j2> , что ot>CrlL И &(#«>, р) С V
ция,подсчитанная по формуле (3.6) для точки >
3) Покажем.»что в условиях нашей теоремы
(3.26)
Действительно,если бы для некоторых 6>0С И и V оказалось, что (.4>^$о><Р^»Т0 (повторяя рассуждения из &03 ,стр. МЛ-119) мы построили бы последовательности , 'Хп и .удовлетворяющие условиям предыдущего предложения 2), причем ||С1,Эвп, ,где £. -некоторая положительная по-