Двоякопериодические обобщенные аналитические функции и их приложения

• Автор: Сафаров, Джумабой
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 297 с.

Оглавление
Введение

1 Двоякопериодические обобщенные аналитические функции

1.1 Некоторые сведения из теории эллиптических функции

1.2 Эллиптические функции второго рода. Квазиэллиптические

функции

1.3 Интегральные представления функций классов СW1p>r и

М,Р, р > 2, г

1.4 Решение неоднородного уравнения Коши-Римана в классе

двоякопериодических функций второго рода

1.5 Обобщенные решения неоднородного уравнения Коши-Римана
в классе Mj?
1.6 Решение однородного уравнения обобщенных аналитиче-
ских функций в классе Wlp>r, р >
1.7 Решение неоднородного уравнения обобщенных аналитиче-

ских функций в классе W1p.r, р >
2 Двоякопериодеские решения уравнения Вельтрами
2.1 Некоторые свойства решений уравнения Вельтрами
2.2 Построение квазипериодического гомеоморфизма уравнения Вельтрами
2.3 Формула Грина и ее следствия
2.4 Обобщенные эллиптические функции и их свойства
2.5 Обобщенные функции Вейерштрасса
2.6 Выражение обобщенной эллиптической функции через функции С(w(z)), cr(w(z)), p{w{z))
2.7 Обобщенные эллиптические функции второго рода. Обобщенные квазиэллиптические функции
3 Двоякопериодеские решения системы уравнений эллиптического типа общего вида
3.1 Свойства решений систем уравнений (3.0.3) - (3.0.5)
3.2 Достаточные признаки отсутствия ненулевого решения уравнений (3.0.4)
3.3 Разрешимость уравнения (3.0.1) в классе

Wp, Р>
3.4 Интегральные представления двоякопериодических функций через диффренециальный оператор Бельтрами
3.5 Интегральное представление двоякопериодических функций второго рода через дифференциальный оператор Бельтрами
3.6 Двоякопериодические решения неоднородного уравнения Бельтрами
3.7 Решения неоднородного уравнения Бельтрами в классе двоякопериодических функций второго рода
3.8 Двоякопериодические решения однородного уравнения (3.0.4)
3.9 Двоякопериодические решения неоднородного уравнения (3.0.4)
3.10 Двоякопериодические решения эллиптических систем общего вида
4 Двоякопериодические решения многомерных эллиптических систем обобщенных уравнений Коши-Римана
4.1 Многомерная формула Коши-Грина в классе С*
4.2 Решение неоднородной многомерной системы уравнения Коши-Римана в классах С*, MD
4.3 Решение системы (4.0.1) в случае щ
4.4 Решение однородной системы (4.0.1) и некоторые достаточные условия отсутствия ненулевого решения
4.5 Решение системы (4.0.1) в общем случае
4.6 Двоякопериодические обобщенные голоморфные векторы
4.7 Двоякопериодические решения для одного частного случая системы обобщенного голоморфного вектора
4.8 Двоякопериодические решения некоторых классов эллиптических систем второго порядка
4.9 Нелинейные уравнения
Введение
Актуальность темы. Исследования, имеющие целью различные обобщения и применения теории аналитических функций одного комплексного переменного, встречаются у многих авторов (Д. Гильберт, Т. Карлеман. И.Г. Петровский и др.). Наиболее существенные из них естественным образом связаны с узловыми вопросами анализа, геометрии и механики.
В основополагающих работах М.А.Лаврентьева [44], [45], И.Н.Векуа [21], Л.Берса [9], [10], Ф.Д.Гахова [34], Б.В.Боярского [15] - [17],
В.С.Виноградова [22] - [29], и их последователей обобщены многие геометрические и аналитические свойства решений уравнения Коши-Римана на весьма широкий класс линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа на плоскости. Глубокие результаты впервые были получены в исследованиях М.А.Лаврентьева по квазиконформным отображениям, которые связаны также с задачами газовой динамики. К этому кругу проблем относятся обобщения на решения линейных равномерно эллиптических систем уравнений вида ( [7], [15], [21], [22])
иъ — — д2(г)1В~ + а{г)ю + Ь(г)гП = /(г), (0.0.1)
где |дД^)| + |д2(^)| < до < 1.
Полная теория систем уравнений (0.0.1), когда дг = д2 = 0 и коэффициенты принадлежат классу Ьр, р > 2, построена И.Н.Векуа [21] и Л.Берсом [77] и известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
При изучении системы (0.0.1) И.Н.Векуа [21] разработан аналитический аппарат исследования, основанный на ряде соотношений и формул, которые связывают семейства решений дифференциальных уравнений с классом аналитических функций одного комплексного переменного. Установлены глубокие аналогии между обобщенными аналитическими функциями и аналитическими, и вместе с тем даны некоторые применения к вопросам бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теорий равновесия оболочек.

в (0.0.43) принять р 1 = ехр^уБ], р2 = ехрг}2Б] и для нахождения Б воспользоваться соотношением Лежандра (см.§5 формула (0.0.36)).
Обозначим через М)Р класс функций, удовлетворяющих условиям (0.0.42). (или (0.0.43) имеющих в г точках лежащее в параллелограмме О. полюсы, как у решений уравнения Бельтреми, и ш{г) € И^(£2о), р > 2, где Г2о - любая подобласть области О, не содержащая полюсы т (г). Тогда обобщенные эллиптические функции (о.э.ф.) второго рода являются обобщенными решениями уравнения Бельтреми из класса Мгс при Б ф 0, г - число полюсов решения с учетом их кратности. Если Ф(ш(гг)) обобщенная эллиптическая функция второго рода, то отношение Ф'(ш(,г))/Ф(и;(,г)) является обобщенной эллиптической функцией. Следовательно, из результатов §§4-6 вытекают следующие утверждения
Теорема 2.7.1. - 2.7.2. Если N и Р, соответственно, число нулей и полюсов решений уравнения (0.0.29) из класса М)?, то необходимо N = Р.
Пусть Ъ, Ъ2, ■ •' , ЪТ - полюсы и а1,д2,/ аг - нули решения уравнения (0.0.29) из класса М®. Тогда для существования решений уравнения (0.0.29) с этими полюсами и нулями необходимо и достаточно, чтобы

^2[ио(Ьк) - ш(оа:)] = Бтой{Н 1,/12). ь=
При этом все решения уравнения (0.0.29) выражаются формулой
сг(и1(г) — ш{а))о{са(г) — и(а2)) • • ■ сг{оо(г) — ш(аг))
Ш °а(ои(г) — — ш(Ь2)) • • • а(ш(г) — ш(Ьг)) ’
где ш(а) = о;(о1) --nhi --rnh2, п, т - некоторые числа, с - произвольная постоянная, а
и)(Ьх) + сс(Ь2) + • • • + ш(Ьг) = афа) + се(а2) + • • • + се(аг) + Б.
При Б £ Г надо считать г >2, а при Б фГ, г > 1.
Пусть решение уравнения (0.0.29) из класса имеет полюсы с главными частями (0.0.38). Тогда имеет место
Теорема 2.7.3. Пусть ги(г) - о.э.ф. класса М(? имеет полюсы 61,62, ••• ,Ьг с главными частями вида (0.0.40) и Б Е Г1. Тогда для ее существования необходимо и достаточно, чтобы
2 Дь = 0, ехр[Ъы{Ък), А= Ак.