Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа

• Автор: Ильясова, Альбина Куандыковна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 86 с.

Введение
СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Явная формула интегрального представления решений для
уравнения третьего порядка гиперболического типа с регулярными
коэффициентами в трехмерном пространстве
§1.1. Об одном способе сведения уравнений третьего порядка
гиперболического типа общего вида к системе трех линейных уравнений
первого порядка пространства Д
§1.2. Явная формула интегрального представления уравнения третьего
порядка гиперболического типа общего вида
Глава II Интегральные представления и граничные задачи для одного
класса квазилинейных уравнений второго порядка с регулярными
коэффициентами
§2.1. Сведение квазилинейного уравнения второго порядка к линейному
дифференциальному уравнению
§2.2. Явная формула интегрального представления решений квазилинейного
дифференциального уравнения второго порядка
§2.3. Некоторые свойства решений квазилинейного дифференциального
уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами
§2.4. Граничные задачи для квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами на плоскости
Глава III Явные формулы интегральных представлений и граничные
задачи для некоторых квазилинейных уравнений с сингулярными
коэффициентами
§3.1. Интегральные представления решений для одного класса
квазилинейных уравнений второго порядка с одной граничной сингулярной
линией на плоскости
§3.2. Формулы явных решений граничных задач для квазилинейного
уравнения с одной граничной сингулярной линией на плоскости
§3.3. Интегральные представления решений для одного класса
квазилинейных уравнений второго порядка со многими внугренними
сингулярными линиями на плоскости
§3.4. Об одной граничной задаче для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка со многими внутренними сингулярными линиями :

§3.5. Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных уравнений второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости
Глава IV Интегральное представление решений и граничные задачи для одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка с регулярными
коэффициентами
§4.1. Редукция одного класса квазилинейных уравнений третьего порядка к
линейному уравнению с частными производными
§4.2.Интегральные представления решений для одного класса квазилинейных
уравнений третьего порядка
§4.3. Граничная задача для квазилинейного уравнения производных третьего порядка с регулярными коэффициентами
Заключение
Литература

Введение
Сингулярные и вырождающиеся гиперболические уравнения, а также уравнения смешанного типа и их исследования являются одним из важных вопросов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интерес к этому классу уравнений поддерживается как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.
Основы теории сингулярных и вырождающихся уравнений заложены в работах известных математиков Ф. Трикоми, И.Н. Векуа, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, М.А. Лаврентьева, К.И. Бабенко, A.B. Бицадзе. Наиболее пристальное внимание к данным уравнениям стало уделяться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. Так, И.Н. Векуа указал их в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.
Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения
y-Uxx + Uy^O,
и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения
/т¥1ихх + иуу = 0,те N.
М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований граничных задач подобных уравнений, предложил новую модель уравнений
uxx + sgnyuyy = 0,
A.B. Бицадзе принадлежат исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева -Бицадзе.

§ 2.3. Некоторые свойства решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка с регулярными коэффициентами
Решение вида (2.12) обладает следующими свойствами.
Свойство 1. При х= Хд значение и{х, у) На Пг (b) находится при помощи равенства

и{х0, у) = <р(х0)ехр(- тх {х0, /))- j expf^ (х0 ,т)-Щ (х-0, y)]n{(p{r))dr.

При У= Уо значение и(х, у) на Пх (о) будет иметь вид
и{х,у0) = <р{х).
Свойство 2. Интегральное представление (2.12) обратимо, то есть, если
известны значения функции и(х, у) на контурах /7, (а), Пг (6) и значение
производной этой функции по переменной у на П2 (Ь) , то <р(х) и у/{у) находятся из равенств
<р{*)= «(*■/о). viy)= ехр(-й>3 (xq , /)),

соъ (дг0, у) = а(х0, у) и{х0, у) + ^

Свойство 3. Пусть в уравнении (2.1) коэффициенты а(х,у), Ь{х,у), с[х,у) имеют слабую особенность, то есть
ЬЬЛ-Щ*К