Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений параболического типа

• Автор: Данилкина, Ольга Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 113 с.

Глава 1. Нелокальные задачи для одномерного уравнения параболического типа
§1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода
для одномерного параболического уравнения
§2. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода
для одномерного параболического уравнения
Глава 2. Нелокальная задача с интегральным условием для многомерного уравнения параболического типа
§1. Обратная задача с интегральным условием переопределения
для параболического уравнения
§2. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода
для многомерного уравнения параболического типа
Глава 3. Нелокальная задача с интегральным условием второго рода для общего параболического уравнения
Литература

Задачи с нелокальными условиями представляют собой одно из динамично развивающихся направлений современной теории дифференциальных уравнений. Нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения или его производных в различных точках границы или в точках границы и каких-либо внутренних точках [60].
Особое место среди нелокальных задач занимает класс задач с нелокальными интегральными условиями, которые являются обобщением локальных и дискретных нелокальных условий. Нелокальные интегральные условия возникают при исследовании различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме [75], процессов распространения тепла [45], [23], процесса влагопереноса в капиллярно - пористых средах [59], [4]; при математическом моделировании технологического процесса внешнего геттерирования, применяемого для очищения кремниевых плат от примесей [57], [58].
Нелокальные задачи также имеют практическое значение при решении задач механики твердого тела. Они позволяют управлять напряженно - деформированным состоянием и этим схожи с задачами управления [1], [74].
К числу первых исследований нелокальных задач можно отнести статью A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [2]. В этой работе были поставлены и исследованы пространственно - нелокальные задачи для определенного класса эллиптических уравнений, которые привели к изучению несамосопряженных спектральных задач. Впоследствии задача, сформулированная

в [2], была названа задачей Бицадзе - Самарского.
Дж. Кэннон [45] рассмотрел задачу о распространении тепла в тонком нагретом стержне {0 < х < 1}, в случае, когда задано количество тепла на части стержня {0 < х < Х(х)}, 0 < Ь < Т. Этот процесс приводит к изучению граничной задачи для уравнения теплопроводности щ — ихх с начальным условием и(х, 0) = <р(х) и нелокальным условием
где E(t) и X(t) — известные функции.
В [45] доказано существование и единственность классического решения данной задачи при E(t), X(t) 6 СДО, Т.
В работе Л.И. Камынина [28] в области St = {Х(t) < х < Х2(t),0 < t <Т} для одномерного параболического уравнения общего вида a(x,t)uxx + b(x,t)ux + c(x,t)u — щ = f(x,t) установлена однозначная разрешимость задачи с условиями
в случае, если функции E(t) и Х3(t) удовлетворяют условию Гельдера.
Необходимо также отметить статью A.A. Самарского [75], в которой приведена постановка нелокальной задачи для уравнения теплопроводности
и(х, 0) = h{x)
g(x,t)u(x,t)dx = E(t), Xi(i) < Хз(<) < X2(t), u(X2(t),t) = ip(t)
Zit — 0 ^ X ^ 1, t
с начальным условием
u(x, 0) = (p(x), 0 < x < 1,
(0.2]
граничным условием п(0Д) = u(t) и с интегральным условием
J K{x,t)v{x,t)dx = E(t)exp H p(rj) drj'j
Обозначая q(t) = exp J p{rj) dr^j, будем иметь:
vt = Av + q(t)f (x, t), (2.5)
/ J n
v(x,0) = = 0, (2.7)
K(x,t)v(x,t) dx = E(t)q(t). (2.8)

Таким образом, мы получили задачу, линейную относительно пары функ ций v(x, t), q(t), причем условие переопределения (2.8) позволяет явным образом выразить неизвестный коэффициент q(t) через решение v(x,t) прямой задачи (2.5) — (2.7):
дМ = Щ f K{x,t)v{x,t)dx. (2.9)
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 2.1 Задачи (2.1) — (2-4) и (2.5) — (2.8) эквивалентны. Доказательство. Выше мы уже показали, что если пара (и,р) является решением задачи (2.1) — (2.4), то функции v,q — решение (2.5) — (2.8).
Нетрудно доказать обратное утверждение.
Пусть пара (v,q) — решение задачи (2.5) — (2.8). Определим u(x,t) = v(x,t)/q(t). Тогда v(x,t) = q(t)u(x,t) и
utq(t) + q'(t)u = Auq(t) + q(t)f(x, t),
v(x, 0) =
А поскольку q(t) = exp J p(rj) dq^j, то тогда пара (и, p) удовлетворяет уравнению
Щ = A u+p(t)u +