О гомоклинической динамике шестимерных гамильтоновых систем

• Автор: Маркова, Анна Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Гамильтонова бифуркация Хопфа: поведение траекторий и устойчивость в критическом случае
1.1 Постановка задачи
1.2 Структура интегрируемой системы
1.3 Переменные действие-угол
1.4 Невырожденность Щ
1.5 Изоэнергетическая невырожденность Я
1.6 Устойчивость
1.7 Случай В, С 7^ 0: изменение масштаба переменных
Глава 2. Существование симметричных гомоклинических траекторий при периодической обратимой гамильтоновой бифуркации Хопфа
2.1 Постановка задачи и основные результаты
2.2 Структура интегрируемого диффеоморфизма
2.3 Существование гомоклинических траекторий
в полной системе
Глава 3. О структуре 4-мерного симплектического диффеоморфизма в окрестности гомоклинической траектории к 1-эллиптической точке
3.1 Постановка задачи и основные результаты
3.2 Следствия из условия трансверсальности
3.3 Линеаризация и отображение рассеяния
3.4 Устойчивые и неустойчивые многообразия
КАМ-кривых
3.5 Выпрямление инвариантных многообразий
3.6 Гомоклинические траектории к КАМ-кривым
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена некоторым аспектам динамики шестимерных автономных гамильтоновых систем, то есть систем с тремя степенями свободы. Системы дифференциальных уравнений, которые можно записать в гамильтоновой форме, являются классическим объектом исследования в теории дифференциальных уравнений. Они описывают математические модели явлений, возникающих в различных разделах современной физики, механики, гидродинамики, нелинейной оптики, химии (задачи молекулярной динамики). В некотором смысле можно сказать, что большинство физических задач на базисном уровне, без учета диссипации, описываются гамильтоновыми системами, и поэтому их изучение представляет первостепенный интерес. Небесная механика была и остается до настоящего времени одним из основных «поставщиков» новых задач в теории гамильтоновых систем.
Наиболее изученным классом гамильтоновых систем является класс систем, близких к интегрируемым. Здесь основные успехи связаны с теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM). Эта теория существенно продвинула всю теорию гамильтоновых систем и позволила решить ряд давно стоявших задач об устойчивости и сохранении квазипериодических траекторий. Современные исследования Ю. Мозера, Ю.Н. Бибикова, М.Б. Севрюка, X. Брура, М.В. Матвеева, В.Н. Тхая, Дж. Лэмба и других позволили распространить результаты этой теории на классы обратимых систем, сохраняющих объем и даже диссипативных систем. Однако и при изучении систем, близких к интегрируемым, возникают задачи, когда изучение ведется в окрестности множества вырождения интегралов и где возможны явления типа гомоклинических и связанной с ними диффузией Арнольда.
Известно, что изучение гомоклинических траекторий и поведения гамильтоновой (а позднее и диссипативной) системы в окрестности таких траекторий началось с работ А. Пуанкаре, обнаружившим сложное поведение устойчивого и неустойчивого многообразий седловой неподвижной точки при наличии трансверсальной гомоклинической траектории. Затем это изучение продолжил Дж. Биркгоф: для случая двумерных симплекти-ческих диффеоморфизмов им было доказано существование счетного мно-

жества седловых периодических траекторий в окрестности трансверсаль-ной гомоклинической траектории к седловой неподвижной точке. Биркгоф также высказал идею о возможности полного описания всех траекгорий в окрестности гомоклинической орбиты на языке символической динамики. Следующий шаг был сделан С. Смейлом, доказавшим, при условии линеаризации диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки, теорему о сложной структуре поведения траекторий в малой окрестности трансвер-сальной гомоклинической траектории. Однако задача об описании структуры множества всех траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты, им не была решена. Эта задача без каких-либо дополнительных предположений была затем решена Л.П. Шильниковым. Все это касалось изучения гомоклинических траекторий к седловым периодическим траекториям гладких потоков или, соответственно, гомоклинических траекторий седловых неподвижных (или периодических) точек гладких диффеоморфизмов.
Шильников был первым, кто обнаружил сложную динамику траекторий гладкого трехмерного потока в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия типа седло-фокус. Эта ситуация имеет место в предположении положительности седловой величины седло-фокуса. При переходе к гамильтоновому случаю, ввиду симметрии спектра линеаризации потока в состоянии равновесия, это условие не выполняется. Пытаясь перенести результат Шильникова на гамильтонов случай, Девани обнаружил, что в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории седло-фокуса гамильтоновой системы имеется инвариантная подсистема, описываемая на некоторой секущей как топологическая схема Бернулли из двух символов. Затем Лерманом было получено полное описание системы в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к седло-фокусу на критическом уровне гамильтониана (то есть содержащем седло-фокус и гомоклини-ческую траекторию) и показано, что при переходе к близким уровням гамильтониана в системе происходит большое число различных бифуркаций, в результате которых система усложняется и, в частности, число состояний схемы Бернулли, которая описывает поведение некоторой инвариантной ги-
Ряд в круглых скобках может быть записан в виде:

(2т+ 1)!!
_2т+1(т + 1)!
(2т + 3)
(т + 2)(т + 3)(2т + 1)

(2тг — 1)!!
2"га!
(2га + 1)
2(т+1)

(га + 1)(га + 2) (2га — 1)
Для п > 1 выполняется следующее неравенство:
(2га + 1) .

(п + 1)(п + 2)(2га - 1) “ 2(2п - 1)' Следовательно, для последней строки в (12) справедлива оценка:
7Г ( 15 4 15 4 ^
о Нг«' + т^Е

(2т + 1)!!
2т+1(т + 1)!
(2 т + 3)
(т + 2 )(т + 3)(2гаг + 1)
2(т+1)
15 47Г

71—1 ОО

(2га - 1)!! 2"га!
(2га - 1)!! 2пга!
(2га + 1)
(га + 1)(га. + 2)(2га — 1)
„2п

= --д4Е(д).
Таким образом, Л(д) отрицательна для 0 < д2 < 1. Лемма доказана. ■
Чтобы проверить, что определитель Колмогорова Б отделен от нуля в С7, запишем выражение для Б в переменных (д2, д). Для этой цели выразим все члены в (10) через эти переменные. Получим:

П2з =
2К2(д) VI + Зга2 2К2(д) у/1 - д2 + д
еі - е
у/ЇЇ/Зк + 1)
Д = 91(1-27/) =
/Зу/д? 27д4(1 - д2)
' (1 + Зга2)3 4(1 — д2 + д4)3’
Обозначим за Ь(д) монотонно убывающую функцию, определяемую при 0 < д2 < 1 рядом:

(2га - 1)!! 2"га!
(2га + 1)

(га + 1)(га + 2)(2га — 1)
Заметим, что Ь(д) > Е(д). В результате Б примет вид:
5л2(1 - д2 + д4)

24д2КДд)(1-д2)