Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах

• Автор: Ощепкова, Софья Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Оглавление
Введение
0.1 Введение
1 Сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве.
1.1 Основные понятия
1.1.1 Стратифицированные множества
1.1.2 Стратифицированная мера
1.1.3 Определение дивергенции и эллиптического оператора на стратифицированном множестве
1.2 Эллиптический оператор на стратифицированном множестве
1.2.1 Координаты, риманова метрика, оператор Лапласа
- Бельтрами
1.2.2 Формулировка сильного принципа максимума
1.3 Некоторые вспомогательные результаты
1.3.1 Теорема о дивергенции
1.3.2 Теорема о среднем
1.3.3 Необходимое условие экстремума гладкой функции
на стратифицированном множестве
1.4 Доказательство основного утверждения и.......некоторые.следствия
1.4.1 Доказательство сильного принципа максимума
1.4.2 Приложение к задаче Дирихле

1.4.3 Сильный принцип максимума для вырожденного лапласиана
2 Сильный принцип максимума для эллиптического оператора с переменными коэффициентами.
2.1 Вспомогательные утверждения
2.1.1 Теорема об интегро-дифференциальном неравенстве.
2.1.2 Необходимое условие экстремума гладкой функции
на стратифицированном множестве
2.2 Доказательство основного утверждения и комментарии. . .
2.2.1 Формулировка и доказательство сильного принципа максимума
2.2.2 Заключительные замечания
2.3 Лемма о нормальной производной
2.3.1 Формулировка леммы о нормальной производной. .
2.3.2 Доказательство леммы о нормальной производной
в трехмерном случае
2.3.3 Доказательство леммы о нормальной производной
в общем случае
2.4 Краткая историческая справка
3 Библиографический список.

0.1 Введение
Актуальность темы. Впервые принцип максимума был доказан в начале 19-го века Гауссом для оператора Лапласа на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения уже в контексте произвольного эллиптического оператора связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений.
Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений - теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы. Реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума даже для уравнения Лапласа оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.
Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пенкин [2]) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е., когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного иссле-

сратифицированной мере. При допустимых г и г2 сферы Д., (X), ДДХ), а также их участки &(Х) и £>(Х) подобны. В силу этого легко получаем формулу
Тг^ /
5Д(Х) /
— / I

(1.3.3)
где г/-внешняя нормаль к сфере Д(Х) в точках сферы Д(Х). Здесь считается, что X € По, а функция и предполагается непрерывной в целом на По (в этом пункте это не потребуется, но нужно в дальнейшем), дифференцируемой внутри каждого страта ещ С По и такой, что интегралы в правой части (1.3.3) сходятся при всех т. Множество всех таких функций обозначим через С1 (По).
Умножая обе части формулы (1.3.3) на гш и суммируя по всем тп получим
(1.3.4)
В действительности, стратифицированная сфера не обязана содержать участки всех размерностей. Поэтому справа формально могут содержаться лишние слагаемые. Во избежание недоразумений договоримся интегралы по пустым £(Х) считать равными нулю.
Доказанная формула вместе с формулой (1.3.2) позволяют сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1.3.2 Пустъи € С2(По) является решением уравнения (неравенства) Ари = 0 (> 0). Тогда имеет место равенство (неравенство)
а (
=0(г0)- (13'5)
т~° в(Х)
Случай равенства дает аналог теоремы о среднем для гармонических функций, в чем нетрудно убедиться. Действительно, классический слу-