Асимптотические решения некоторых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах

• Автор: Недосекина, Ирина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 c. : ил

§0. Постановка задачи и некоторые необходимые сведения • . 15 ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНОГО СЛУЧАЯ ВЕТВЛЕНИЯ §1. Построение асимптотического итерационного процесса

1.1. Построение стационарных решений

1.2. Построение формальных решений уравнения /0.8/* *23

§2. Обоснование существования малых решений уравнения /0.8/ 35 §3. Обоснование существования решений типа "перехода"

для уравнения /0 .1

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ 'МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЯ ВЕТВЛЕНИЯ §4. Построение асимптотического итерационного процесса

4.1. Стационарные решения

4.2. Построение асимптотики решений типа "перехода"

§5. Обоснование существования малых решений уравнения

/0.8/, осуществляющих переход между двумя стационарными

решениями
§6. Пример нелинейной автономной системы, удовлетворящей
условиям теоремы
ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕШ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТИПА, "РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ"
§7. Проверка условий, накладываемых на операторы А и7(и)
§8. Построение асимптотики решений типа "перехода" . . .III
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА . .
ПРИЛОЖЕНИЯ

В настоящее время много внимания уделяется новому направлению в исследовании нелинейных явлений, которое называют неравновесной термодинамикой [13, 55-], синергетикой [бз], теорией самоорганизации [зг], теорией автоволн [в]. Это - "область научных исследований, целью которых является выявление общих закономерностей в процессах образования, устойчивости и разрушения упорядоченных временных и пространственных структур в сложных неравновесных системах различной природы /физических, химических, биологических, экологических и др./" [3?]. Явления самоорганизации весьма разнообразны. К ним относят: образование диссипативных структур - состояний системы, обладающих пространственной и временной упорядоченностью, в организации которой принимают активное участие диссипативные процессы /теплопроводность, диффузия и т.п./ [4-6, 14, 18-20 , 39 , 47 , 52 , 69 ] ; возникновение уединённых фронтов /волны горения [1б], волны популяций [41-43] / ; возникновение импульсов /в нервных волокнах [4б] и автокаталитиче-ских реакциях [зз]/ и др. /Обширную библиографию по данному вопросу можно найти, например, в работах [э, 13, 36, 8, 40] ./ Тем не менее, многие явления описываются теорией самоорганизации в рамках единых моделей, которые математически выражаются нелинейными кинетическими уравнениями параболического типа [зб]. Напри-
= К&и + Г(и)
/I
где и-(и1)иг,...)и^~ вектор кинетических переменных /концетрации реагирующих веществ, температуры, биомасса, число организмов данного вида в единице объёма и т.п./, К - матрица коэффициентов диффузии /в общем случае К может зависеть от и - нелинейная диффузия/, Пи) - нелинейная вектор-функция, учитывающая взаимодействие.

Скалярное уравнение типа /I/, описывающее распространение волнового фронта в нелинейной среде, впервые рассматривалось в 1937 году в классической работе А.И.Колмогорова, Ж.Г.Петровского, Н.С.Пискунова /КПП/ [23] при анализе следующей биологической проблемы. Пусть некоторая большая территория занята определённым биологическим видом с определённой концентрацией 4 , близкой к единице. Вдоль границы рассматриваемой территории будет находиться область промежуточных значений концентрации, а за пределами этой области можно считать и близкой к нулю. В результате положительности отбора территория, уже занятая видом, будет увеличиваться, т.е. её граница будет перемещаться в сторону не занятых видом областей. Математически задача описывается уравнением
и1=и„+Т(и)! , /2
где функция Т7 (и) удовлетворяет условиям:
Г(0)=га)=0, Г(и)еС[0,1],Т(и)>0, ;
Г'(О)=аС>0, Т'(и) *■<*■, 0*иь1.
Ищется решение уравнения /2/, удовлетворяющее начальным услови-
и(ь 0) = /(*) ,

В работе КШ; показано, что при больших временах распространение данной биологической популяции имеет вид бегущей волны и(Х~1/£), распространяющейся с постоянной скоростью 1/.
Дальнейшие исследования волновых решений уравнения /2/ были связаны с задачами горения. В 1948 году Я.Б.Зельдовичем было показано, что при определённых условиях подобными уравнениями
Г 1 , х*
(_0, х>0 .

рассматриваемые операторы удовлетворяют условиям леммы 6, согласно которой имеет место оценка:
/%тъ/% * ± МктМу* (Мкт>0)
Ур-1 р
Исследуемое операторное уравнение /2.35/ удовлетворяет условиям теоремы о неявном операторе, сформулированной В.А.Треноги-ным в [49]. В наших обозначениях эта теорема формулируется сле-дущим образом.
Рассмотрим уравнение /2.35/ с малым параметром (О, у£/0) ,
где Чко V/р-1 > У7кт Ъ/т (тФО) - т -линейные ограниченные операторы в I/р-1 , Л Ырч)> Н$ (/ь)И-И.
Тогда существуют числа 0 и Ъ > О , такие что при /ие(0}р) данное уравнение имеет непрерывное решение единственное при
Следовательно, эквивалентная уравнению /2.35/ система /2.32/ при достаточно малых £> О и Н сН0+^ Ну Ир* Ъ имеет
единственное решение , непрерывно зависящее

Обратившись к системе /2.32/, установим, что порядок малости с(е,г) * есть 0(&Ц . Подставив С -(с,+с)ем
У&~^~1 в выражение для Я (£, Ъ) Д.Ю/, получим, что
%(е,г)=ьфуе7*+%(е,г) , где Иг(&?)!= 0(е?*).
Для доказательство проводится аналогично с привлечением пространства !ур-/ и соответствующих операторов в нём.