Точная асимптотика функций расптеделения собственных значений оператора Максвелла для полого резонатора и задач дифракции

• Автор: Сафаров, Юрий Генрихович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 103 c. : ил

Вычисление асимптотики функции распределения собственных значений (или, более общо, спектральной функции) самосопряженного дифференциального оператора является одной из классических задач математической физики. В последние годы основные исследования по этой проблематике связаны с получением точных оценок остатка в асимптотических формулах и с изучением задач, в которых возможно выделение "регулярного" второго члена асимптотики. Основные успехи на этом пути достигнуты на основе предложенного Б.М.Левитаном в [13, 14] метода гиперболического уравнения. Развитие этого метода позволило Хермандеру в [21] получить неулучшаемую оценку остатка в асимптотической формуле для спектральной функции эллиптического оператора на многообразии без края; Дейстермаат и Гийемин в [24] при определенных предположениях геометрического характера нашли для этой задачи второй член асимптотики функции распределения собственных значений.
Дальнейшее развитие метод гиперболического уравнения получил в работах Сили [28, 29] и В.Я.Иврия [8, 9]. Предложенная в них техника позволила перенести многие результаты [21, 24] на многообразия с краем. Наиболее сильные результаты принадлежат В.Я.Ив-рию. Им была получена точная оценка остатка в асимптотической формуле для функции распределения собственных значений эллиптической краевой задачи для оператора второго порядка, а также исследован вопрос о существовании второго члена асимптотики. Второй член был построен в случае, когда мера множества периодических точек геодезического биллиарда равна нулю (будем называть такие задачи непериодическими). В [10] были анонсированы аналогичные результаты для операторов второго порядка, действующих в подпространствах сечений векторных расслоений, выделяемых проекторами из

алгебры Буте де Монвеля.

Техника, предложенная В.Я.Иврием, основана на исследовании особенностей волновой функции <э(1) - следа фундаментального решения гиперболического уравнения при соответствующем граничном условии. При этом важную роль играет доказательство нормальности особенности (э при Ь-О , т.е. того, что ( 0^ Ь) & имеют одинаковую гладкость в окрестности t = 0 для всех м & [ЧГ . Переход к асимптотике функции распределения собственных значений Лґ (7І) осуществляется при помощи модификации тауберовой теоре-мы Хермандера (см. [21]).
Упомянем также о сравнительно недавних работах В.Я.Иврия М и Д.Г.Васильева [з]. В первой из них асимптотические формулы, сходные с полученными в [8], были доказаны для сужения спектральной функции оператора второго порядка на диагональ, во второй результаты [8, 9] перенесены на случай операторов высокого порядка. ■ При этом Д.Г. Васильев использовал метод, отличный от метода В.Я. Иврия. Второй член был построен им при условии не абсолютной периодичности задачи, аналогичном условию существования второго члена из работы [24]. Формально это условие менее ограничительно, нежели условие периодичности, однако, автору неизвестны примеры периодических задач, которые не являлись бы абсолютно периодическими.
В диссертации исследуется асимптотика функций распределения собственных значений двух краевых задач: задачи дифракции и задачи для оператора Максвелла в случае полого резонатора. В обоих случаях доказаны асимптотические формулы, аналогичные полученным в [8]. Для задачи дифракции,помимо того, удалось построить второй член асимптотики при условиях, не исключающих существования богатого множества периодических траекторий геодезического биллиарда.

В этом случае он записывается в виде произведения непрерывной почти периодической функции на степенную, что указывает на неравномерность распределения собственных значений на вещественной оси. Этот результат близок к полученным Дейстермаатом и Гийемином для многообразия без края (см. [24]).
В диссертации используется техника, представляющая собой дальнейшее развитие метода В.Я.Иврия. Первая Глава IIосвящена техническим вопросам. В § I доказывается нужная нам модификация тауберо-вой теоремы Хермандера (она представляет собой некоторое обобщение теоремы, использованной В.Я.Иврием), а также приведен ряд лемм, необходимых в дальнейшем. В § 2, 3 рассматриваются краевые задачи для псевдодифференциальных систем первого порядка. Системы такого вида исследовались В.Я.Иврием в [5-7] , результаты § 2,3 получены при помощи разработанных им методов. В частности, в § 2 доказана лемма о распространении особенностей (лемма 2.4), сходная с соответствующим результатом [б] (по-видимому, эта лемма неявно использовалась ив [в]). На наш взгляд, при изучении гиперболических задач с выделенной временной переменной лемма 2.4 может оказаться удобнее результатов [б] и поэтому представляет самостоятельный интерес. Впрочем, ее доказательство практически полностью повторяет рассуждения [б]. В § 3 исследуется вопрос о нормальной сингулярности следа фундаментального решения системы первого порядка.
Результаты § 2, 3 можно использовать и для доказательства нормальности особенности волновой функции оператора высокого порядка в случае, когда его можно свести к такой системе (это, в частности, верно для задачи дифракции). Между тем, такой подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он позволяет воспользоваться уже готовыми результатами [б] и [15]; во-вторых, при этом выделяются естественные ограничения на систему и граничный оператор ,
1*3 = ХГ *1 []!]■' 5,

+ си-^г £т- 5(°'У> к*-?)-
Определим следующие параметриксы:
Р0 : Р-иг = о , Б я4
Р7 : Р иг = 5 ; 4*.«"0 Б я4 )
Г2 • Р иг = £ , ч*.„ = 0 1 Ву гсг = 0;
Гз • Р гсг = о , 1Ч..’0 ' ' &гг гсг = -в$
Тогда из (5.1), (5.2) следует
-ИшХРоЬГ^;(5.7)

и2- Г3 +(Г3В0^ +/^ Р0) -

= £ (Г,В.ГР,Р„)Т, В у V, +(Г3В0^ + Р2Ро)т гг2.(5.8)

Пусть
?£« =[ш'«С(К£],Н*):0,<г(/ г С([-£,е], Н*') V}* к], Л к -{■иУ<(Ш1,Н°х,’11)--01ъгес([-£,£],
где £ - малое положительное число. Из стандартных энергетических
оценок следует, что
Г7 * 1Д 3 Ч/ 5 Г ±р ^ +Р+1 'Ц’ $