Некорректная задача продолжения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием

• Автор: Сурков, Платон Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 108 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Постановка задачи
2. Определяющая система уравнений для нахождения значений регуляризирующего оператора
3. Асимптотика решений краевой задачи
4. Зависимость параметра регуляризации от допустимой погрешности
5. Асимптотика регуляризованных решений
6. Зависимость асимптотик регуляризованных решений от выбора стабилизирующего
функционала
ГЛАВА 2. АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Постановка задачи
2. Определяющая система уравнений для нахождения значений регуляризирующего оператора
3. Асимптотика решений краевой задачи
4. Зависимость параметра регуляризации от допустимой погрешности
5. Асимптотика регуляризованных решений
ГЛАВА 3. НЕКОРРЕКТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХАТЧИНСОНА
1. Постановка задачи
2. Определяющая система уравнений для нахождения значений регуляризирующего оператора
3. Зависимость параметра регуляризации от допустимой погрешности
4. Асимптотика регуляризованных решений
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Главная цель науки — описание и предсказание. Наблюдая некоторые явления, мы хотим знать, как описать то, что мы видим в настоящий момент, и как определить что произойдет в дальнейшем. Детальное изучение окружающего мира вынуждает нас, хотим мы этого или нет, принять во внимание тот факт, что скорость процессов в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от предыстории этих процессов. Так возникает отклонение аргумента. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, ряда биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется.
Систематическое изучение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом было начато в середине прошлого века в нашей стране А.Д. Мышкнсом [63,64] и в США Р. Веллманом [5, 104]. С тех пор актуальность приложении, сложность и новизна проблем привлекли и продолжают привлекать к функционал ьно-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. Этапы создания теории функционально-дифференциальных уравнений нашли отражение в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной, П.М. Симонова [1,2], Р. Веллмана, К.Л. Кука [5], A.B. Кима, В.Г. Пименова [30], H.H. Красовекого [43], В.В. Колмановского, В.Р. Носова [40], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мартынкжа [58], А.Д. Мышкпса [63], С.Н. Шимаиова [100], Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [102], A. Halanay [117], J.K. Hale, S.M.V. Lunel [94,119], J. Wu [135]. Чрезвычайно плодотворной оказалась концепция функционального пространства состояний H.H. Красовекого. Она позволла связать теорию функционально-дифференциальных уравнений с теорией дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [47, 95]. На ее основе был достигнут большой прогресс в развитии качественной теории функционально-дифференциальных уравнений и теории управления [37,39,40,42—46, 48,50,57,58,65-67,93,94,100,101,114,124].
Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом хорошо изучена задача Коши на положительной полуоси. Получены условия обеспечивающие непрерывную зависимость решений от начальных функций, т.е. корректность задачи Коши [5,94]. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на отрицательной полуоси тесно связана с задачей Коши для дифференциальных уравнений с опережающим аргументом на положительной полуоси. Условия существования решений последней задачи имеют сложный вид и не гарантируют непрерывной зависимости решений от начальных функций [63]. Для автономных линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенными запаздываниями задача Коши на отрицательной полуоси имеет решение, если оператор, определяющий правую часть уравнения, обратим, начальная функция бесконечно дифференцируема л удовлетворяет счетному набору краевых условий (5]. Если ограничиться классом решений, допускающих экспоненциальную оценку на отрицательной полуоси с заданным показателем экспоненты, то рассматриваемое множество является линейной комбинацией конечного набора экспоненциальных решений, т.е. линейным конечномерным пространством [63]. Последний результат обобщался на неавтономные линейные уравнения с запаздывающими аргументами [10,22,28,52]. Решения, продолжимте на отрицательную полуось, называются двусторонними [102]. Задача нахождения двусторонних решений изучалась в работах [71,74-76,90,102,105,106,109,111-113,116,129,130,132,133]. Условия существования решений задачи Коши на конечном отрезке отрицательной полуоси исследовалась а работах [32,71,72,118,120,121,125,128]. Задача Коши на отрицательной полуоси относится к классу обратных задач для дифференциальных уравнений [7]. Многие обратные задачи сводятся к решению операторных уравнений. Одной из характерных особенностей обратных задач математической физики является их некорректность в паи-

более естественных с точки зрения приложений функциональных пространствах. В теории управления изучается обратная задача восстановления управления в динамической системе [6,12,15,49,54]. При решении обратных задач для дифференциальных уравнений используются методы теории некорректных задач [13,29,51,89].
В работе [20] некорректная задача нахождения решения неавтономного линейного уравнения с запаздыванием на отрезке отрицательной полуоси заменяется нахождением решения операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве. Для решения полученной задачи использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова. Показано, что минимизирующий элемент определяется решением сингулярной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [19] для автономного линейного уравнения с запаздыванием предложен метод нахождения асимптотики для минимизирующего элемента. В настоящей работе продолжаются исследования, начатые в рабочих [19,20]. Строится асимптотическое регуляризованное решение дифференциального уравнения с запаздыванием на конечном отрезке отрицательной полуоси. При построении указанного решения используется процедура метода шагов, на каждом шаге которой решается некорректная задача для операторного уравнения первого рода. Задача нахождения минимизирующего элемента метода регуляризации А.II. Тихонова сводится к задаче нахождения решения сингулярной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении последней задачи используются асимптотические методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [11,30,31,70,88,91].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый ' из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 108 страниц машинописного текста.
Краткое содержание работы. Перейдем к рассмотрению основных результатов, полученных в диссертации.
В первой главе исследуется задача продолжения решений линейных автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием на отрицательную полуось. Глава состоит из 6 параграфов.
В параграфе 1.1 приводится постановка задачи для линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
= Ах(Ь) + Вх(Ь — г), 1 е Ж- = (—оо, 0], (0.1)
где х: ВС —+ К", г > 0, А и В — постоянные матрицы размера п, х п. На рассматриваемую систему накладывается ограничение с!е! В ф 0. Решения задачи Коши для системы (0.1) на полуоси (—оо, 0] предлагается искать с помощью пошаговой процедуры в функциональном пространстве состояний, на каждом шаге которой требуется решать уравнения ихь = Хк+1, к < — 1. Здесь и далее все индексы являются целыми числами из указанных промежутков, а линейный вполне непрерывный оператор II, действующий в пространстве С = С([—г, 0], Ж") [5, е. 186], [43, с. 182], определяется формулой

[1Вр){д) = ехр(Л(г + $))<д(0) + у ехр(Л(ч? — б))В<^(б) (к, ч? € [— г,0]. (0.2)

Поставленные задачи являются некорректными. В настоящей работе для их решения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова [89]. Тогда, используя пошаговую процедуру
Хк = Д {%к+1, <5), к<— 1, х0 = у>, (0.3)
где (5 — допустимая погрешность, Д — регулярнзпрующий оператор уравнения 1]х = в сепарабельном гильбер'говом пространстве Н = Ьп{[—г, 0), К'1) х со скалярным произпе-

|<г5|=2, 1,и,ь=1 р,д= 1 р,<2=

73 Ы = Е Е В?тиг^?п« - 2^(0) Е е^5^1ТР2У3/41)]+
Р,9=1 |И|=а4, ^=
91+42 93+94>
+ 72^(0) Её^/Г“1А(^) + 2 Е ^^(^)тг1Т;1/г^г1д(й+
^■=1 Р,<7=

|ч5|=3, /,-*х,х»=1 чр,9=1 Р>
- ^(0)В-1ТР^1/2Т-1Д(1)о),
2 2 74ы = Е Е дг^Х9-^4 + 2 Е й(°) Е И:г/;Г-
р,9=1 |ч41=5, |ч3|—2, /=
91+42 — ^’ 93+94>1 93^*
• + а3/4 ( Е еУяА(^Т-^^%Т-'ДЫ+
Р>«?=
Р><7:

+ Е Е Е - е +
|ч5|=4, /,гл,я^=1 р,?=1 р,(/=

+2 е (-1),1+1 (^~1)т(о) Е- ^г1)т(-о Е).
|45И2, ' j=l з=г '

7аЫ=Е Е ^1Т^Х«В«+2 Е у1(0)±^Г»Г+
р,?=1 |ч4|=вН-1, ]73|=а-2, /=
91+42^+» 93 +94 — 1 93—а~

+ Е (уь(°)Ус(°) + [ Уь {э)Ус(з) йв) + Е еречД(^)Тт-1Т-71/2^иГ_1д^)+
Ь+с=а—5 ^ _г ' р, п , 2 4 ч
+ Е Е Е «»«,„ ~ е
|<г5|=а, г,и,и=1 'р, 95<«-
+■ 2 е (-!),1+1 ($г1)т(°) Е И72^1£)]4 - у1г_1)т(-о е «Т2?;
|95|=а-2, ^ Г=1 .?=

•М4)>
а = 5, тп — 3.
Уравнение (1.36) эквивалентно уравнению
' т-2 V 1/
/ т-г V
52/з = аЦА / 7а(/4; <р) )
' а—0 '