Определяющие функционалы задачи микроволнового нагрева в одномерном случае

• Автор: Ермаков, Илья Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Физические основы и некоторые применения микроволнового нагрева
1.1 Физическая суть микроволнового нагрева
1.2 Применение микроволнового нагрева
1.3 Начально-краевая задача
1.4 Обзор работ по нагреву керамики
1.5 Устройства микроволнового нагрева
2 В-аттрактор при вытягивании назад и определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева
2.1 Построение коцикла для задачи микроволнового нагрева
2.2 Существование В-аттрактора при вытягивании назад для задачи микроволнового нагрева
2.3 Определяющие функционалы для задачи микроволнового нагрева
3 Частотные условия диссипативности и существования определяющих операторов задачи микроволнового нагрева
3.1 Эволюционная система автоматического управления

3.2 Определяющие операторы
3.3 Частотная теорема для эволюционных систем
3.4 Частотные условия существования определяющих операторов для задачи микроволнового нагрева
3.5 Замечание
4 Численные эксперименты по аппроксимации определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева
4.1 Вычислительная схема
4.2 Зависимость решения от граничных условий
4.3 Эксперименты с определяющими функционалами при вытягивании вперед
Заключение
Литература

Введение
Работа посвящена изучению определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Она состоит из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. В работе рассматривается эта задача в случае одной пространственной переменной. Это парная система, состоящая из нелинейных уравнений гиперболического и параболического типов. Исследование ведется в предположении присутствия неавтономного воздействия, которое в системе присутствует в граничных условиях уравнений Максвелла.
Микроволновый нагрев имеет большое значение для практики. Области его применения разнообразны - приготовление еды, промышленная обработка материалов, медицина (лечение опухолей). В качестве конкретного примера нами выбран нагрев керамики.
Пусть имеется эволюционное уравнение в некотором функциональном пространстве, имеющее решение. Определяющими функционалами этого уравнения называются линейные функционалы на пространстве решений, однозначно определяющие асимптотику решений уравнения. Это означает, что для любых двух решений уравнения из стремления к нулю разности функционалов от этих решений следует стремление к нулю разности этих решений. Вопрос существования определяющих функционалов

Теорема 2.4 Существует единственное глобальное слабое решение (ijj(x,t),e(x,t)) задачи (2.9)-(2.11), причем ф € L°°(0, Т; i/1(0,1));
в Е И/32:1((0,1) х (0,Т)) для любого Т > 0.
Построение и свойства коцикла для задачи микроволнового нагрева
Сведем задачу к задаче с однородными краевыми условиями. Обозначим f(x,t) = — х) + f2(t)x и введем замену Ф(x.t) — 1p(x,t) — f(x,t)
ДЛЯ х Е [0.1], t > 0. Получим систему
Фи - Фхх + сг(6>)Ф4 = ftt(x,t) - ft(x,t)a(9), 0 < х < 1, t > 0, ^ ^
Qt ~ вхх = с(#)(Фг + Л)2, 0 < х < 1, t > 0,
Ф(0,4) = Ф(1,4) = 0, 0(0,4) = 0(1,0 = 0, t > 0, (2.13)
Ф(ж,0) = Ф0(х) = фо(х) - f(x, 0), 0 < х < 1,
Ф<(ж,0) = Ф^ж) = ^(ж) - ft(x,0), 0 < х < 1, (2.14)
в (х, 0) = во (ж), 0 < х < 1.
С данной заменой предположение (А2) примет вид (А2’):
(А2’) Фо е Щ{0,1), Фа е L,1), 6>о € Wi(0,1), в0 > 0 п.в. на (0,1).
Введем коцикл, соответствующий задаче (2.12)-(2.14). Определим пространство М = Hq(0,1) х L2(0.1) х (И^2(0,1) П {в : в > 0 п.в.}) с нормой
\(ф, V, в)\м = 11^х|1т2(0,1) + IMIl2(o,i) + II^IIl2(o,i)-
В нашей ситуации Q = R, т1(з) — t + s, ^(s. щ) = u(t + s,s,uo), где u(t.s,uо) = (Ф(-, t), ФД-, t)-. Q('t t))- решение (2.12)-(2.14) такое, что u(s, s, u0) = u0 - (Ф0, Фь в0).